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1、广东省汕头市潮阳林百欣中学高考数学考前训练题（2020-5-8）解析几何综合题 许吟裕（）1如图：已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上, 经过右焦点F倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,且, 点在该椭圆上.()求椭圆C的离心率的值,并求椭圆C的方程；()在椭圆C内部是否存在一点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解: ()设,椭圆C的右准线为,过A,B分别作的垂线,垂足分别为过B作,垂足为D.由圆锥曲线的统一定义知:3分在直角三角形中,故6分设椭圆C的方程为: 将代入得所以: 椭圆C的方程为:7分()假设存在满足条件,设据题意直线8分故9分即:10分将代入椭圆的方程并整理得:由
2、根与系数的关系知 11分将代入得即: 故或(不合题意,舍去)综上所述:存在点满足条件.14分2已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（）求椭圆C1的方程；（）设椭圆C1的左焦点为F，左准线为l1，动直线l2垂直l1于点P，线段PF的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围.解：（）由题意可得 ， （2分）由，得，（3分）C1的方程为 （4分）（）由（）可得椭圆C1的左焦点为F（1，0），左准线为l1：x =3, （5分）连结FM，则，设M（x，y），则P（3,y）,， （7
3、分）化简得C2的方程为. （8分）（）设，C2与x轴的交点为Q（2，0）， （9分）由，得， （10分）化简，得 （11分） （12分），又，当时， （13分）故的取值范围是 . （14分）3已知两定点（，）和（，），为一动点，与两直线的斜率乘积为）求动点的轨迹的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线对称？ 1）解：设S（x，y），SA斜率=，SB斜率=，（2分）由题意，得，（4分）经整理，得（分，未指出x的范围，扣1分）点的轨迹为双曲线（除去两顶点）（7分）2）解：假设C上存在这样的两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），则PQ直线斜率为1，且、
4、的中点在直线上设PQ直线方程为：，由整理得（分）其中时，方程只有一个解，与假设不符当时，D，D，所以，（）（分）又，所以，代入，得，因为、Q中点在直线上， 所以有：，整理得，（）（分）解（）和（），得，（分）经检验，得：当取（，）中任意一个值时，曲线上均存在两点关于直线对称（分）xyABCOF1F24如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过焦点当垂直于轴 时，恰好（I）求该椭圆的离心率；（II）设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由解：（I）当C垂直于x轴时，由，得， 2分 在Rt中，【或由A（c，），得】 解得 = 4分（II）由=，则， 6分焦点坐标为，则椭圆方程为，化简有
5、设，若直线的斜率存在，则直线方程为代入椭圆方程有由韦达定理得：， 8分所以，同理可得 故= 10分若直线轴， 6 12分 综上所述：是定值6 14分5给定二次曲线系：（）试求方程分别表示椭圆和双曲线的条件；（）设直线与轴交于点，是否存在曲线Ck交直线于、两点，使得？若存在，求出的值； 若不存在，说明理由；（）已知Ck与直线 有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程解：（）当且仅当即 时，方程表示椭圆； 2分 当且仅当，即时，方程表示双曲线 4分 （）设，由得 为的中点，且，则，6分 联立化简得，8分，即不成立，故不存在曲线Ck交直线于、两点，使得10分（）解法一：由（）联立化简得，0，即6或k4（
6、舍）， 12分双曲线实轴最长，k取最小值6时，最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为15分解法二：若Ck表示双曲线；则，不妨设双曲线方程为， 联立得，与直线有公共点，即，14分 实轴最长的双曲线方程为15分 解法三：不妨先求得关于直线的对称点，设直线与双曲线左支交点为M，则，13分 ，14分实轴最长的双曲线方程为15分6已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F，准线为l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线C：（1）双曲线C的一个焦点是F，相应F的准线为l；（2）直线m垂直于x y =0，双曲线C截直线m所得的线段的长为2，并且截得线段的中点恰好在直线x y =0上.若存在，求出这条双曲线
7、的方程；若不存在，说明理由.解：y2=2(x+), 焦点为F（0，0），准线l：x=1.设双曲线C存在，其离心率为e，点（x,y)为双曲线C上任意一点，由条件=e,得（1e2）x2+y22e2xe2=0.又设与xy=0垂直的直线m为y=x+b,则双曲线C应与m有两个交点，设为A（x1,y1）、B(x2,y2),且|AB|=2.由 得(2e2)x22(e2+b)x+b2e2=0.则 (*)成立，且x1+x2=,x1x2=.又|AB|=2，所以2()24()=8,所以=1.又AB的中点M（）在直线xy=0上，. 由、解得此时（*）成立，所以满足条件的双曲线C存在，其方程为3x2y2+8x+4=0.
8、 14分7在椭圆上有两点P、Q，连结A(a,0)和Q的直线平行于OP，设AQ与y轴交于R，试问是否为定值？解：如图，设直线OP的方程为y=kx，由AQOP，得直线AQ的方程y=k(x+a)ABxOPRyQ由得：（1）由 得：Q=, =a = （2）由得R（0，ak）（3）由（1）、（2）、（3）可知：=2。8已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值.解：（1）由题可得F1(0, ), F2(0, ), 设P(x0, y0)(x0
9、0, y00)则在曲线上，则则点P的坐标为（1，）（2分） （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k0)则BP的直线方程为：y=k(x1)所以：AB的斜率为定值（6分） （4）设AB的直线方程：当且仅当m=2（2，2）取等号三角形PAB面积的最大值为（6分）9平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，2），点C满足、（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.（1）解：设即点C的轨迹方程为x+y=1（2分） （3）双曲线实
10、轴长的取值范围是（0,1（6分）10已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又.（1）求直线l方程； （2）求椭圆C长轴长取值的范围.解：（1）直线l过点（3，）且方向向量为化简为：（4分）（2）设直线交于两点A（x1,y1），B（x2,y2），和x轴交于M（1，0）由（7分）将 由韦达定理知：由2/ 知：32b2=（4b2+5a2）（a21）（10分）化为对方程求判别式，且由0即化简为：由式代入可知：又椭圆的焦点在x轴上，则由知： 因此所求椭圆长轴长2a范围为（11已知两点、, 动点P在y轴上的射影为Q, .(1) 求动
11、点P的轨迹E的方程;(2) 设直线过点A, 斜率为k. 当时, 曲线E的上支上有且仅有一点C到直线l的距离为, 试求k的值及此时点C的坐标.(1)设动点P的坐标为, 则点Q的坐标为, , , (3分) 由题意得, 得 所求动点P的轨迹方程为:(2)设直线l: 由题意点C在与直线l平行, 且与l之间的距离为的直线上.设直线l: 则得即把代入, 且整理得则由题意知: 即由得: 由方程组: 此时, 由方程组, 得点C的坐标为12若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足 （1）求此双曲线的离心率； （2）若此双曲线过点，求双曲线方程；（3）设（2）中双曲线
12、的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程.解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边形，又由知为菱形，设半焦距为c，由， （2）双曲线方程为代入，有即所求双曲线方程为 （3）依题意得B1（0，3），B2（0，3）.设直线AB的方程为则由双曲线的渐近线为时，AB与双曲线只有一个交点，即 又故所求直线AB的方程为解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 1有关中点弦问题已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。2有关圆锥曲线的对称问题这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=x+b对称。3圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法
