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1、数学试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.参考公式：如果事件互斥，那么.如果事件相互独立，那么.柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.第I卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.2本卷共9个小题，每小题5分，共45分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知，若（是虚数单位），则复数是A.BCD2设，则“”是“”的A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分又不必
2、要条件3已知函数.若曲线在点处的切线与直线平行，则实数ABCD4在中，以边所在的直线为轴，将旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为ABCD5为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取o 40 6080 200.021000.0150.01a分成绩/频率组距部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，.若分数在区间的频数为，则大于等于分的人数为ABCD 6已知函数.若，则，的大小关系为ABCD7已知函数（）的最小正周期为，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；点为图象的一个对称中心；
3、在区间上单调递增.其中正确的结论为ABCD8设双曲线的两条渐近线与圆相交于，四点，若四边形的面积为，则双曲线的离心率是A.B.C.或D9在等腰梯形中，.若为线段的中点，为线段上一点，且，则A.BCD第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上.2本卷共11个小题，共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分, 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10已知集合，（），且，则 .11在的展开式中，项的系数为 （用数字作答）.12设，若与的等差中项是，则的最大值是 .13已知圆，过点的直线与相交于，两点，且，则的方程为 .14天津市某学校组织教师进行“学习强
4、国”知识竞赛，规则为:每位参赛教师都要回答个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对个问题，得分；答错，得分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知对给出的个问题，教师甲答对的概率分别为.若教师甲恰好答对个问题的概率是，则 ；在前述条件下，设随机变量表示教师甲答对题目的个数，则的数学期望为 .15已知函数若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 .三、解答题:本大题共5个小题,共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在中，内角，所对的边分别为，.已知，.（1）求角的大小； （2）求的值.17（本小题满分1
5、5分）A1ABCMC11B11NP如图，在三棱柱中，四边形，均为正方形，且，为的中点， 为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为椭圆（）的右焦点，的准线与交于，两点，且.（1）求的方程；（2）过的左顶点作直线交于另一点，且（为坐标原点）的延长线交于点，若直线的斜率为，求的方程.19.（本小题满分15分）设是等比数列，是等差数列.已知，.（1）求和的通项公式；（2）设其中，求数列的前项和.20.（本小题满分16分）已知函数在处取得极值，函数，其中是自然对数的底数.（1）求的值，并判断是
6、的最大值还是最小值；（2）求的单调区间；（3）证明：对于任意正整数，不等式成立.数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)题号123456789答案BADBCDCAD二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10 11 1213 14； 15 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16解：（1）由题设及正弦定理，得1分在中，因为，所以2分由于，从而，所以4分在中，因为，所以，所以， 所以，即 6分 （2）在中，由于，则由余弦定理，得，即 8分因为，所以，解得，从而 10分在中，由正弦定理，得因为中，且，所以，所以 12分所以14分17解：因为四边形，
7、均为正方形，所以A1ABCMC1B11NP又，从而以点为坐标原点，分别以向量的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 1分不妨设，则有，所以 2分（1）证明：【方法一】易知，平面的法向量为 由于，所以，即 4分 又因为平面，所以平面5分【说明】本小题的其它解法如下（这里过程略述），若步骤完整、过程严谨，请参照赋分标准，酌情赋分：【方法二】取的中点,连接证明平面平面，进而证得平面【方法三】取的中点,连接先证明,进而证得平面（2）由题意，知,设平面的法向量为，则有 即令，得 7分设平面的法向量为，则有 即令，得8分所以，所以， 10分 设二面角的大小为，所以故所求二面角的正弦值为1
8、1分（3）设点（），则,且有设直线与平面所成角为，则有，即， 12分整理，得，解得或（舍去）14分所以 15分18解：（1）易得，抛物线的焦点的坐标为，准线方程，所以椭圆的右焦点，左焦点为 2分设椭圆的半焦距为,依题意得 解得 5分故所求椭圆的方程为 6分（2）【方法一】由题意，得的左顶点又知直线的斜率存在，不妨设为（），点,则直线方程为7分联立方程组消去并整理，得， （）9分易得，所以点为方程（）的实数根，从而，所以所以 11分由题意，点均在上，且关于原点对称，所以点,即12分因为,所以，解得 14分故所求直线的方程为，即 15分【方法二】由题意，得的左顶点，直线的斜率为，所以直线的方程为
9、7分联立方程组消去并整理，得 解得，或10分所以点的横坐标（因为为点的横坐标），所以点的纵坐标，从而点12分由题意，点均在上，且关于原点对称，所以点的坐标为，所以14分所以直线的方程为,即所求直线的方程为15分19解：（1）设等比数列公比为，由，得 消去并整理，得，2分解得,从而所以； 3分设等差数列的公差为，由,，得 5分解得 所以 6分（2）由（1）及题意，得其中 8分当为奇数时，不妨设数列的前项和为，所以，即， 9分所以上述两式相减，得 ， 11分所以 12分当为偶数时，易得，数列前项和为14分设Cn的前2n项和为T2n则15分20解：（1）因为（），所以（） 1分因为是的极值点，所以，即，所以 2分此时，（）易得，当时， ；当时，所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增，4分所以函数在处的极值是最小值5分（2）由（1）知，所以，且所以 6分设（），则 7分显然，当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且9分所以,当时，即； 当时，即所以，函数的单调递减区间为；单调递增区间为 11分（3）证明：由（1）可知,当时，即12分不妨令（），则有（）13分所以，即15分因为函数在区间上单调递增，所以（得证） 16分
