《电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量 1 电磁场中带电粒子的运动方程2 拉格朗日形式3 哈密顿形式4 非相对论情形 1 电磁场中带电粒子的运动方程 在相对论力学中 力学基本方程可写为协变式 其中 Ku为四维力矢量 Pu为动量和能量构成的四维矢量 在低速运动的情形下 作用于速度为v的物体上的四维力矢量所以 在相对论协变的力学方程包括 上式可改写为 在电磁场中 带电粒子受到的洛伦磁力为 所以 洛伦磁力也满足相对论协变要求 综上得 带电粒子在电磁场中的运动方程为 2 拉格朗日形式 在理论力学中 拉格朗日的基本形式为 其中为广义动量 为广义速度 Qa为广义力 对保守力系来讲 因为势能V中一般并不包含
2、广义速度 所以令L T V来代表体系的动能与势能之差 所以得到保守力系下的拉格朗日方程为 在电动力学中 电磁场也是一个保守力场 所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程 电磁场中的带电粒子的运动方程为 1 其中粒子的机械动量p是 2 现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程 2 化为拉格朗日形式 3 4 把 3 和 4 代入 1 式中 得 5 由于电子运动 在时间dt里有位移dx 所以矢势A有增量 因此 作用于粒子上的矢势总变化率为 6 所以 5 可写为 7 动量p和矢势A可以写为 所以拉格朗日量L为 8 则运动方程 7 可以写为拉格朗日形式 9 对L的几点说明 把 8 式乘以自由粒子的
3、状态由速度确定 所以只能由协变量四维速度决定 当粒子在电磁场中运动时 除了之外 还依赖于四维势 则它们可以构成一个不变量 因此 当v c时 带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为 8 得 上式右边是洛伦兹不变量 因此上式左边也是洛伦兹不变量 因此只能是一个洛伦兹不变量 当时 则自有粒子的拉格朗日函数为 3 哈密顿形式 对于用拉格朗日量L描述的动力学系统 广义动量定义为 10 则系统的哈密顿量为 11 用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式 12 和 13 对于电磁场中的带电粒子运动情形 由 8 式 正则动量P是 即 14 由 11 式 带电粒子的哈密顿量为 但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出 所以哈密顿量表示为 15 16 引入四维正则动量 则哈密顿量H与Pu的第四分量联系 17 18 不难验证哈密顿方程 12 和 13 相当于原运动方程 1 4 非相对论情形 当v c时 以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量 拉格朗日量 8 式当v c时变为 19 哈密顿量 16 式变为 20 可以看出H和L仍然满足关系式 11 所以非相对论的情形下 拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形
