《2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届北京师范大学附属实验中学高三摸底考试数学试题一、选择题1.已知集合，则元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】计算得到，得到元素个数.【详解】集合，则，共有5个元素.故选：【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题.2.设为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式直接化简得到答案.【详解】故选：【点睛】本题考查了复数运算，意在考查学生的计算能力.3.命题“，有”的否定形式为（ ）A. ，有B. ，有C. ，使D. ，使【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】全称命题的否定是特称
2、命题.故“，有”的否定形式为：，使故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（ ）A. 80B. 90C. 100D. 120【答案】B【解析】【分析】直接根据分层抽样按比例抽取得到答案.【详解】高二年级抽取的人数为： 故选：【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生对于分层抽样的理解.5.下列函数中在上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次计算每个函数的单调区间得到答案.【详
3、解】A. ，在上单调递增，排除；B. 在上单调递减，在上单调递增，排除；C. ，在上单调递减，正确；D. ，在上单调递增，排除；故选：【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生对于函数性质的应用.6.函数的对称中心坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简得到，再计算对称中心得到答案.【详解】令.故对称中心为故选：【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.7.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，联立抛物
4、线方程，求得A，B的坐标，以及F的坐标，设AF的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值.【详解】解：双曲线的两条渐近线方程为，由抛物线和，联立可得，由抛物线的方程可得，设AF的倾斜角为，斜率为，而，解得（负的舍去），设，可得，解得，则，故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题.8.某人利用下载软件下载，三个文件，大小分别为，（），该下载软件至多可以同时下载两个文件，总下载速度保持为，当同时下载两个文件时，两个文件的下载速度均为，现有以下三种方案可供选择：方案一：同时开启，当
5、下载结束瞬间，立刻开启；方案二：同时开启，当下载结束瞬间，立刻开启；方案三：同时开启，当下载结束瞬间，立刻开启；则这三种下载方案中（ ）A. 方案一更节省时间B. 方案二更节省时间C. 方案三更节省时间D. 三种方案所花时间相同【答案】D【解析】【分析】根据题意得到总速度均为，总容量相等，故时间不变，得到答案.【详解】根据题意，不管是两个文件下载还是一个文件下载，总速度均为，总容量相等.故总时间相同.故选：【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.二、填空题9.已知向量，则_.【答案】5【解析】【分析】计算得到，再计算得到答案.【详解】，则，.故答案：【点睛】本题考查了向量的坐标运
6、算，意在考查学生的计算能力.10.在的展开式中，项的系数为_.【答案】【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式中， 取得到 故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.11.函数的图象在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导得到，计算，得到切线方程.【详解】，则，故，故切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.12.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则_.【答案】10【解析】【分析】直接根据等差数列，等比数列公式列方程组计算得到答案.【详解】，成等比数列，即，解得或（舍去），故故答案为：
7、【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，意在考查学生的计算能力.13.正四棱柱中，则以、为顶点的四面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】利用正四棱柱的体积减去四个三棱锥的体积得到答案.【详解】如图所示：四面体的体积等于正四棱柱的体积减去四个三棱锥的体积，即 故答案为： 【点睛】本题考查了四面体的体积，利用体积的加减是解题的关键.14.定义在上的奇函数满足：当时，；当时，已知直线与函数的图象有三个交点，设其横坐标分别为，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到函数表达式，画出图像，讨论和，两种情况，分别计算交点横坐标计算得到答案.【详解】上的奇函数满足：当时，；当时，当时，故，；当
8、时，故，；.故 ，画出函数图像，如图所示：当时，无解；当时，.故答案为：【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、解答题15.在中，分别为角，所对边，若.（1）求角的大小.（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理计算得到答案.（2）计算得到，得到，计算三角函数范围得到答案.【详解】（1）由正弦定理知：，即由余弦定理知：，因此（2）由正弦定理知：，则，故，则，故因此【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的值域，意在考查学生的计算能力.16.如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，.（
9、1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）如图，连接交于点，证明平面得到答案.（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式计算得到答案.（3）存在，设，则，则平面的法向量为，利用向量垂直计算得到答案.【详解】（1）如图，连接交于点，由于平面，平面所以，即由于，所以平面又因平面，因此（2）由于平面，平面，平面，所以，又，所以，两两垂直，因比，如图建立空间直角坐标系，因此，设平面的法向量为，则即取，则设直线与平面所成
10、角为，（3）存在，设，则则，设平面的法向量为，则，即，即，则，若平面平面，则即，则因此在棱上存在点，使得平面平面，【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，平面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.17.某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备51030
11、50乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.【答案】（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【解析】【分析】（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，计算分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）的可能取值为10000，11000，12000，因此的
12、分布如下100001100012000的可能取值为9000，10000，11000，12000，因此的分布列为如下9000100001100012000（2）设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，的可能取值为2，3，4，5，则的分布列为2345的可能取值为3，4，5，6，则的分布列为3456由于，因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知为函数的极值点.（1）求的值；（2）设函数，若对，使得，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，将代入计算得到答案.（2）计算，讨论，三种情况，计算最值得到答案.【详解】（1）
13、，解得当时，函数在单调递减，在单调递增，所以为函数的极小值点，因此（2）由（1）知，函数的导函数当时：当时，在上单调递增，当时，上单调递减，对，使得，符合题意当时：，取，对有，不符题意当时： 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，若对，使得，只需，即，解得综上所述：【点睛】本题考查了根据函数极值求参数，存在问题和恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.19.设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的直线交椭圆于点，（不与左右顶点重合），连接，已知的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据周长得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）设点，直线，联立方程利用韦达定理得到，代入式子计算得到答案.【详解】（1），则而，则，因此椭圆的方程为：（2）设点，由于，不与左右顶点重合，则直线的斜率不为0因此设直线，与椭圆方程联立：整理得：，因此，故，则不妨设，解得，即联立，解得：因此直线的方程为：或【点睛】本题考查了椭圆方程，根据椭圆和直线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.20.设集合的元素均为实数，若对任意，存在，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪
