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1、安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题 理（含解析）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】由得，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知复数，则下列说法正确的是（ ）A. 复数的实部为3B. 复数的虚部为C. 复数的共轭复数为D. 复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】，所以的实部为，虚部为 ，的共轭复数为，模为，故选C.【点睛】该题考查的是有
2、关复数的概念和运算，属于简单题目.3.椭圆的一个焦点坐标为（ ）A. (5,0)B. (0,5)C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为，所以，故椭圆的上焦点的坐标是，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.【详解】因为，所以，故选B【点睛】该题考查的是有关指数函数和对数函数的单调性，比较大小，属于基础题目.5.曲线在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
3、【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果.【详解】，所以，又时，所以所求切线方程为，即，故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目6.设等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】B【解析】【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质，可以求得，结合，求得公差，从而求得的值.【详解】因为，所以，又，所以公差，所以【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式基本量的计算，属于简
4、单题目.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步分析：先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己
5、原来的位置，分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步分析：先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有种.而基本事件总数为,所以所求概率为，故选C.【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.9.定义在R上奇函数满足，当时， ，则不等式的解集为（ ）A. (-1,3)B. (-3,1)C
6、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知当时，从而利用导数的符号判断得出函数是R上的单调递增函数，所以得到，利用函数的单调性得到，解不等式求得结果.【详解】由题意可知，当时，所以，是R上的单调递增函数，故由，得，即，解得，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于简单题目.10.过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将直线：化为，可得直线经过定点，从而可以判断得出的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，利用点到直线的距离公式，可得点到直线的距
7、离的最大值为.【详解】整理得，由题意得，解得，所以直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，因为圆心到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为.【点睛】该题考查的是有关动点到直线的距离的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的距离的最值，点到直线的距离公式，属于简单题目.11.已知圆锥的母线长为4，侧面积为S，体积为，则取得最大值时圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设底面半径为r，高为h，利用题的条件，可得，之后应用公式表示出，利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件，得出答案.【详解】设圆锥的底面半径为
8、r，高为h，则，所以，当且仅当时取等号.此时侧面积为.【点睛】该题考查的是有关圆锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，基本不等式，属于简单题目.12.已知点A是双曲线的右顶点，若存在过点的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（ ）A. 存在最大值B. 存在最大值C. 存在最小值D. 存在最小值【答案】B【解析】【分析】根据题意，写出其右顶点的坐标，写出双曲线的渐近线方程，取，设出点M的坐标，从而得到，根据题意可得，从而得到，进一步整理得，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得，进一步求得
9、其离心率的范围，得到结果.【详解】双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为，不妨取，设，则，.若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则，即，整理可得，由题意可知此方程必有解，则判别式，得，即，解得，所以离心率存在最大值，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.第卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上13.已知向量，且与垂直，则 _.【答案】【解析】分析】根据题意，可求得，由于与垂直，结合向量数量积坐标公式可
10、得，从而求得的值，得到结果.【详解】向量， 与垂直，解得，故答案是：【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于简单题目.14.已知所有项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比_.【答案】4【解析】【分析】根据题意可得，设等比数列的公比为，利用等比数列的求和公式表示出，得出关于的方程，求解即可得到的值.【详解】由题意得，所以，又，所以，解得或（舍），所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.15.二项式的展开式中，的系数为_.【答案】【解析】【分析】写出二项展开式
11、的通项，由的指数等于4，求得的值，得到结果.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中指定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.16.已知角，且满足，则_.(用表示)【答案】【解析】【分析】化切为弦，整理后得到，利用诱导公式可得，结合题中所给的角的范围，最后确定出，从而得到结果.【详解】由得，所以，即.结合诱导公式得.因为，所以.由诱导公式可得，易知，因为在上单调递减，所以，即.法二：由得，所以.因为，所以.由诱导公式可得，即因为在上单调递增，所以，即.【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换
12、的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内17.在中，内角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）7【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为；利用余弦定理可求得，从而得到；（2）利用三角形面积公式可求得；利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，即 （2） 由余弦定理可得：即 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，
13、属于常规题型.18.如图所示的多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面.(1)设BD与AC的交点为O，求证:平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）根据题意，推导出面，结合线面垂直的判定定理证得面；（2）以为原点，方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果.【详解】(1) 证明：由题意可知：面，从而，又为中点，在中，又，面 （2）面，且，如图以为原点，方向建立空间直角坐标系，从而，0，0，2，2，1，由（1）可知，1，是面的一个法向量，设，为面的一个法向量，由，令得， 设为二面角的平
14、面角，则，二面角的正弦值为【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.19.抛物线的焦点是F，直线与C的交点到F的距离等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)一直线交C于A，B两点，其中点在曲线上，求证:FA与FB斜率之积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义可得点P的坐标为，代入抛物线方程可得，从而求得抛物线的方程；（2）联立方程组，消元可得，设出两点的坐标，由韦达定理可得，根据点在曲线上，可得，整理求得，得到结果.【详解】（1）由知到准线的距离也是2，点横坐标是，将代入，得，抛物线的方程为. （2）证明：联立得，设，则，.因为点在曲线上，所以代入整理可得， 则.【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，点在曲线上的条件，两点斜率坐标公
