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1、安徽省江淮十校2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，若，则集合的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】求出集合、，得出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可得出集合的子集个数.【详解】当时，；当时，.所以，集合.集合，集合有两个元素，因此，集合的子集个数为，故选：B.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.2.复数满足
2、，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由可得出，利用数形结合思想求出的最大值.【详解】设，则，则复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，其几何意义是原点到圆上一点距离的平方，原点到圆心的距离为，因此，的最大值为，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3.设为正数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即
3、可.【详解】为正数，当时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题.4.已知向量、均为非零向量，则、的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设、的夹角为，由，得出，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出的值，结合的取值范围得出的值.【详解】设、的夹角为，且，解得，.因此，、的夹角为，故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积
4、的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用中间值法，将这三个数与、比较大小，从而得出这三个数的大小关系.【详解】由于对数函数在其定义域上是增函数，则，指数函数在上为增函数，则，即，对数函数在其定义域上是减函数，则，即.因此，故选：C.【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为和，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德
5、国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，将圆心角为的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如下图所示，设，则以点为圆心的扇形面积为，等边的面积为，其中一个弓形的面积为，所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自
6、正三角形外部的概率，故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.7.如图，在正方体中，是棱上动点，下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线B. 对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线C. 当点从运动到的过程中，与平面所成的角变大D. 当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小【答案】C【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理可判断出A选项中命题的正误；利用反证法判断出B选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判
7、断出D选项命题的正误.【详解】对于A选项，平面，平面，平面，又平面，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，反设平面内存在直线满足平面，平面，由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面，事实上，平面与平面不垂直，假设不存在，所以，B选项中的命题错误；对于C选项，由于到平面的距离不变且变小，设直线与平面所成的角为，则，可知在逐渐变大，C选项中的命题正确；对于D选项，由于点到平面的距离不变，的面积不变，则三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变，在点的运动过程中，的面积不变，由等体积法可知，点到平面的距离不变，D选项中的命题正确.故选：C.【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以
8、及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题.8.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出样本平均值与方差，可得年龄在内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】,年龄在内，即内的人数有5人，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 样本方差公式，标准差.9.将余弦函数的图象向右平移个单位后，再保持图象上点
9、的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图象，下列关于的叙述正确的是（ ）A. 最大值为，且关于对称B. 周期为，关于直线对称C. 在上单调递增，且为奇函数D. 在上单调递减，且为偶函数【答案】C【解析】【分析】根据图象变换求出函数的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断.【详解】将余弦函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图象.对于A选项，函数的最大值为，由于，该函数的图象不关于点对称，A选项错误；对于B选项，函数的最小正周期为，且，则该函数的图象不关于直线对称，B选项错误；对于C选项，当时，则函数在
10、上单调递增，且该函数为奇函数，C选项正确；对于D选项，当时，则函数在上单调递增，且为奇函数，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.10.对任意实数，恒有成立，关于的方程有两根为，则下列结论正确的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由可得出，再由，得出，由题意得出和，由此得出，由此可得出正确选项.【详解】构造函数，则，由题意得出，则.且.当时，即当时，对任意的，函数在上单调递增，此时，函数没有最小值；当时，即当
11、时，令，得.当时，；当时，.此时，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，得.由题意可知，关于的方程有两个实根，即有两个实数根.方程的其中一个实根为，则，即，又方程另一个实根为，因此，故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，利用，可得出，解出即可.【详解】设直线的方程为，则直线
12、的方程为，设点、，则点，即，即，解得，故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.12.在四面体中，若，则当四面体的体积最大时其外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，可知当四面体的体积最大时，平面平面，计算出，求出四面体的体积，利用导数求出的最大值以及对应的的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果.【详解】如下图，取的中点，连接、，设，则，当四面体体积最大时，平面平面，四面体的体积为，.令，得，当时，；当时，.所以，函数在处
13、取得极大值，亦即最大值.此时，设和的外接圆半径为，由正弦定理得，.设、的外接圆圆心分别为、，外接球的球心为点，如下图所示：在中，四边形是正方形，且边长为，所以，四面体的外接球半径，因此，该四面体的外接球表面积为，故选：A.【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数、满足，则目标函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线经过可行域时在轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案.【详解】
14、作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14.已知的展开式中各项系数和为，则其展开式中含项的系数是_.【答案】【解析】【分析】先将代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出，然后将二项式变形为，写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出项的系数.【详解】由题意可知，的展开式中各项系数和为，解得，二项展开式的通项为，令，得，因此，展开式中含项的系数为，故答案为：.【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.15.关于的方程在内有解，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为方程在区间上有解，可得出实数的取值范围即为函数在区间上的值域，利用辅助角公式求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.【详解】由题意可得，则关于的方程在区间上有解.构造函数，其中，由辅助角公式可得，为锐角，且，.由于，则，所以，函数在区间上单
