《高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题学案理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题学案理北师大版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时定点、定值、范围、最值问题(对应学生用书第151页)定点问题(2018郑州第二次质量预测)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解(1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立得x24kx80，k
2、AC，则直线AC的方程为yy1(xx1)，即yy1(xx1) x x.x1x28，yxx2，故直线AC恒过定点(0,2)规律方法1.圆锥曲线中定点问题的两种解法引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2.求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式.跟踪训练(2018呼和浩特一调)已知椭圆1(ab0)的离心率e，直线ybx2与圆x2y22相切(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆相交于C，D两点，试
3、判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：79140309】解(1)直线l：ybx2与圆x2y22相切，b21.椭圆的离心率e，e2，a23，所求椭圆的方程是y21.(2)将直线ykx2代入椭圆方程，消去y可得(13k2)x212kx90，36k2360，k1或k1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.若以CD为直径的圆过点E，则ECED(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y20.(1k2)x1x2(2k1)(x1x2)50，(1k2)(2k1)50.解得k1.存在实数k使得以CD为
4、直径的圆过定点E.定值问题(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出现ACBC的情况理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C
5、三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值规律方法求定值问题的常用方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值跟踪训练(2018石家庄质检(二)设M，N，T是椭圆1上三个点，M，N在直线x8上的射影分别为M1，N1.(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT斜率分别为k1，k2.求证：k1k2为定值；(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为(3,0)，M1N1L与MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程解(1)证明：设M(p，q)，N(p，q)，T(x0
6、，y0)，则k1k2，又两式相减得0，即，k1k2.(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，SMNL|r3|yMyN|，SM1N1L5|yM1yN1|.由于SM1N1L5SMNL且|yM1yN1|yMyN|，得5|yM1yN1|5|r3|yMyN|，解得r4(舍去)或r2.即直线MN经过点F(2,0)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为K(2,0)；当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为yk(x2)，则则(34k2)x216k2x16k2480.x1x2，x1x2.x0，y0.消去k，整理得(x01)21(y00)综上所述，点K的轨
7、迹方程为(x1)21(x0)范围问题(2018合肥一检)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于两不同点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解(1)由题意得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M，直线1与y轴交于P(0,2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|PB|，当
8、直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得x1x2，且48(4k21)0，k2，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2) 1，k2，1，综上所述，的取值范围是.规律方法圆锥曲线中范围问题的求解方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范
9、围.跟踪训练(2018江西师大附中)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k(k0)的直线交椭圆E于A，B两点，点C在椭圆E上，ABAC，直线 AC交y轴于点D(1)当点B为椭圆的上顶点，ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；(2)当b，2|AB|AC|时，求k的取值范围. 【导学号：79140310】解(1)直线AB的方程为yxb，直线AC的方程为y(xa)，令x0，y.SABDa2ab，于是a2b24b2，a23b2，e.(2)直线AB的方程为yk(xa)，联立整理得(3a2k2)x22a3k2xa4k23a20，解得xa或x，所以|AB| ，同理|AC|，因为2|AB
10、|AC|，所以2，整理得a2.因为椭圆E的焦点在x轴，所以a23，即3，整理得0，解得k2. 最值问题(2017浙江高考)如图893，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.图893(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增
11、，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.规律方法圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.(2)几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.跟踪训练 (2018石家庄一模)如图894, 已知椭圆C：y21的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点图894(1)求MFN的面积的最小值；(2)证明：E，O，D三点共线解(1)法一：设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，OFMONF，可得mn
12、1.SMFN|MF|FN|1，当且仅当|m|1，|n|1时，等号成立MFN的面积的最小值为1.法二：设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，OFMONF，可得mn1.SMFN|OF|MN|MN|，|MN|2|MF|2|NF|22|MF|NF|，当且仅当|MF|NF|时等号成立由椭圆的对称性可知，当D与N重合，M与E重合时，|MF|NF|，|MN|min2，(SMFN)min|MN|1.MFN的面积的最小值为1.(2)证明：A(，0)，M(0，m)，直线AM的方程为yxm.由得(1m2)x22m2x2(m21)0，由xE，得xE，同理可得xD，mn1，xD，故由可知xExD，代入椭圆方程可得yy.MFNF，故N，M分别在x轴两侧，yEyD，当xE0时，xD0，易得E，O，D三点共线，当xE0时，xD0，此时有，E，O，D三点共线10
