《高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何专题限时集训8空间几何体的三视图、表面积和体积理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何专题限时集训8空间几何体的三视图、表面积和体积理(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题限时集训(八)空间几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第93页)(限时:40分钟)题型1几何体的三视图、表面积和体积2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19题型2球与几何体的切接问题1,7,8,9,10,12,13,18,20一、选择题1一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图812所示,图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是()图812AB3C4D6B由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体,此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为,此四面体的外接球的表面积为43,故选B.2(2017惠州三调)某四
2、棱锥的三视图如图813所示,该四棱锥最长棱的棱长为() 【导学号:07804060】图813A1BC.D2C四棱锥的直观图如图所示,PC平面ABCD,PC1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,故最长棱PA.3(2017沈阳一模)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA平面ABC,ABBC,AB1,BC,若球O的表面积为4,则SA()A.B1C.DB根据已知把SABC补成如图所示的长方体因为球O的表面积为4,所以球O的半径R1,2R2,解得SA1,故选B.4(2017广州一模)如图814,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积
3、为,则该几何体的俯视图可以是()图814 D由题意可得该几何体可能为四棱锥 ,如图所示,其高为2,其底面为正方形,面积为224,因为该几何体的体积为42,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形 .选D.5(2017江西五校联考)如图815是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为()图815A.1BC.D1A由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切,设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱r2h.正三棱柱底面三角形的高为3r,边长为2r,则V正三棱柱2r3rh3r2h,所以该几何体的体积V(3)r2h,则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为1.
4、6(2017郑州第一次质量检测)某几何体的三视图如图816所示,则该几何体的体积为()图816A80B160C240D480B如图所示,题中的几何体是从直三棱柱ABCABC中截去一个三棱锥AABC后所剩余的部分,其中底面ABC是直角三角形,ACAB,AC6,AB8,BB10,因此题中的几何体的体积为1010160,选B.7(2017南昌十校二模联考)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16,则该三棱锥的高的最大值为()A4B6C8D10C依题意,设题中球的球心为O、半径R,ABC的外接圆半径为r,则,解得R5,由r216,解得r4,又球心O到平面ABC的距
5、离为3,因此三棱锥PABC的高的最大值为538,选C.8(2017兰州实战模拟)某几何体的三视图如图817所示,则下列说法正确的是() 【导学号:07804061】图817该几何体的体积为;该几何体为正三棱锥;该几何体的表面积为;该几何体外接球的表面积为3.ABCDB根据该几何体的三视图,可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,它的另外三条棱长均为,显然其是一个正三棱锥,正确;该几何体的体积V111,正确;该几何体的表面积S311,错误;该几何体外接球的直径为2R,所以其外接球的表面积为4R23,正确故选B.9(2017广州高中毕业班综合测试)如图
6、818,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是()图818A25BC29DD由俯视图,可得该三棱锥底面外接圆的半径r,三棱锥的外接球的半径R,三棱锥的外接球的表面积S4R2.10(2017石家庄、唐山联考)已知三棱锥PABC的顶点都在同一个球面上(球O),且PA2,PBPC,当三棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是()A.BC.DA三棱锥PABC的三个侧面的面积之和为2sinAPB2sinAPCsinBPC,由于APB,APC,BPC相互之间没有影响,所以只有当上述三个角均为直角时,三棱锥PABC的三个侧面的
7、面积之和最大,此时PA,PB,PC两两垂直,以其为长方体的三条棱长得出一个长方体,则三棱锥PABC与该长方体有共同的外接球,故球O的半径r2,所以三棱锥PABC的体积与球O的体积的比值是.11从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP,则球的体积为()A.BC.DC设OP交平面ABC于O,由题得ABC和PAB为正三角形,所以OAABAP.因为AOPO,OAPA,所以,所以OA1,即球的半径为1,所以其体积为13.选C.12(2017开封模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB3,AC1,BAC60,AA12,则该三棱
8、柱的外接球的体积为()A.BC.D20B如图,设A1B1C1的外心为O1,ABC的外心为O2,连接O1O2,OB,O2B.由题意可得,球心O为O1O2的中点在ABC中,由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607,所以BC.由正弦定理可得,ABC外接圆的直径2r2O2B,所以r.而球心O到截面ABC的距离dOO2BB11,设直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为R,由球的截面的性质可得R2r2d212,所以球的体积为VR3.故选B.13(2017惠州模拟)已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,
9、若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于() 【导学号:07804062】A.BC.DC由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的,正四面体的各棱长均为4,正四面体体积为42,没有水的部分的体积是,设其棱长为a,则a2a,a2,设小球的半径为r,则422r,r,球的表面积S4.故选C.14(2017宁德三模)已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()图819A.B2C.D3C设正ABC的中心为O1,连接O1A,O1O,O1E,OE(图略),O1
10、是正ABC的中心,A,B,C三点都在球面上,O1O平面ABC,球的半径R2,球心O到平面ABC的距离为1,得O1O1,RtO1OA中,O1A,又E为AB的中点,ABC是等边三角形,AEAO1cos 30.过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,当截面与OE垂直时,截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r,可得截面面积为Sr2.故选C.二、填空题15(2017郑州二模)正方体的八个顶点中,有四个恰好为一个正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为_如图,四面体ABCD的所有棱均为正方体的面对角线,设正方体的棱长为a,则正方体的表面积为6a2,正四面体的棱长均为a,其表
11、面积为4aa2a2,则.16(2017南昌一模)如图820,直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC2CD2AD2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体的表面积为_图820(3)根据题意可知,此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和,即表面积为121212(3).17(2017武汉4月模拟)在四面体PABC中,PAPBPCBC1,则该四面体体积的最大值为_由题意知,PBC的面积为定值,如图,当PA垂直于平面PBC时,该四面体的体积最大,Vmax1.18(2
12、017山东日照一模)现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_. 【导学号:07804063】设球的半径为R,正方体的棱长为a.由题意得当正方体体积最大时,a2R2,Ra,所得工件体积与原料体积之比的最大值为.19(2016宁夏银川一中月考)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1B1EDF的体积为_. 【导学号:07804064】a3法一:(直接法)如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作O1HB1D于H.因为EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平
13、面B1EDF,所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF,又平面B1D1D平面B1EDFB1D,所以O1H平面B1EDF,所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1,所以O1Ha.所以VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.法二:(体积分割法)连接EF,B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1h2B1D1a.由题意得,VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.20(2017江西五校联考)已知在三棱锥SABC中,SASBSC,BC6,若点A在侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心,则三棱锥SABC的内切球的体积为_因为点A在侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心,记为O,连接AO,SO(图略),则AO平面SBC,