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1、上海市南汇中学2020学年度第一学期高三数学期中考试卷一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）1、若集合，则=2、函数的单调递增区间为3、已知，那么4、函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点5、设无穷等比数列的各项和为，且满足，则 3 6、已知等差数列的前项和为，若，则= 72 7、是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是8、在用数学归纳法求证：的过程中，则当时，左端应在时的左端加上 9、已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称，则 0 10、定义运算：，若，则的所有允许取值所组成的集合是11、已知数列中，则在数列的前2020项中，最大的项是第 2 项12、设
2、函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使（为常数）成立，则称函数在上均值为，给出下列四个函数（1） （2） （3） （4）则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 （1）（3） 二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13、若数列是无穷等比数列，其前项和为，则下列结论可能成立的是 （ C ）（A） （B） （C） （D）14、设，则的一个必要而非充分条件是 （ D ）（A） （B）或 （C） （D）15、若对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 （ A ）（A） （B） （C） （D）16、设，二次函数的图象为下列之一，则的值为 （ B ） （A）1 （B） （C） （D）三、解
3、答题（本大题满分86分）17、（本题12分） 解不等式组 解：原不等式组可化为 所以不等式的解为：18、（本题12分）已知数列的首项，前项和为，且，求数列的通项公式解；， 两式相减整理得：， 而， 所以19、（本题14分）设函数，不等式的解集为。（1）求；（2）判断的单调性，并用定义证明。解：（1） （2），定义域为，在单调递增。 证略20、（本题14分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能
4、租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆。 （2）设每辆车的月租金定为3000+元，则租赁公司的月收益 故当，即月租金定为4050元时，月收益最大，最大收益是307050元。21、（本题16分）已知是各项均为正数的递减等比数列的前项之和，且。（1）求数列的通项公式；（2）设是偶函数，当时，求的定义域及其解析式；（3）对任意正整数和（2）中的，若不等式恒成立，求的取值范围解；（1） （2） （3）由（1）单调递增，且 所以若恒成立，则有恒成立。 当时，由得 当时，由得 综上所述：当时，恒成立22、（本题18分）设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数（1） 求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），定义域为 （2）在上单调递增，可知函数值域为 （3）假设存在这样的自然数，满足条件， 令，代换可得因的定义为，则有由于当且仅当即时恰有故得在上是减函数，在上是增函数而，要满足值域为，则有，因得综上：故满足条件的所有自然数的集合为
