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1、专题二综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是()A有10个顶点B体对角线AC1垂直于截面C截面平行于平面CB1D1D此多面体的表面积为a2解析：此多面体的表面积S6a23aaaaa2a2a2.故选D.答案：D2(2020福建宁德模拟)下图是一个多面体的三视图，则其全面积为()A.B.6C.6D.4解析：由几何体的三视图可得，此几何体是正三
2、棱柱，其全面积为S3()22()2sin606.故选C.答案：C3(2020江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A22B12C424 D432解析：由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积S41222283432.故选D.答案：D4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为()A7，3 B8，3C7， D8，解析：由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其全面积为S2(12)112121217，体积为V(12)11.故选C.答案：C5(2020江苏启东中学模拟)一个与球心
3、距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为()A. B.C. D8解析：由题意，球的半径为R，故其体积V()3，选A.答案：A6(2020福建福鼎一中模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是()A. B.C. D.解析：因为BCB1C1，故EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角，在EB1C1中，由余弦定理可得结果，选C.答案：C7(2020浙江台州模拟)如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A2 B4C4 D8解析：由几何体的三视
4、图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由正(主)视图的面积为，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S8114.故选C.答案：C8(2020安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中正确的命题是()A BC D解析：由定理可知正确，中m与的位置关系不确定，中可能m.故选C.答案：C9(2020宁夏模拟)如图，正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AFED的体积有最大值D异面直线AE与BD不可
5、能垂直解析：由题意，DE平面AGA，A、B、C正确故选D.答案：D10(2020山东枣庄模拟)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A.a3 B.a3C.a3 D.a3解析：由几何体的三视图可知，此几何体是正方体去掉一个角，如图，此几何体的体积Va3a2aa3.故选D.答案：D11(2020山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc解析：写出逆命题，可知B中b与不一定垂直选B.答案：B12(2020山东潍坊模拟)某几何
6、体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为()A2 B2C4 D2解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得，n1，a，b，所以(a21)(b21)6a2b28，所以(ab)2a22abb282ab8a2b216ab4，当且仅当ab2时取等号选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13(2020广东珠海模拟)一个五面体的三视图如图，正(主)视图与侧(左)视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯
7、形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_解析：由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为V(12)222.答案：214已知直线a，b和平面，试利用上述元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断的真命题：_ _.答案：或(答案不唯一)15.(2020江西赣州联考)三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，
8、正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离a，正确答案：16(2020南京一模)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BDC1D，BC1，由BC1D是面积为6的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为V8sin6048.答案：8三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)求
9、三棱锥EPAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.解：(1)三棱锥EPAD的体积VPASADEPA.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，PC平面PAC，EF平面PAC.(3)证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，BEPA，又BEAB，ABPAA，AB，PA平面PAB，BE平面PAB.又AF平面PAB，AFBE.又PAAB1，点F是PB的中点，PBAF，又PBBEB，PB，BE平面PBE，AF平面PBE.PE平面PB
10、E，AFPE.18(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图(1)证明：平面EAC平面PBD；(2)试确定点E的位置，使得四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分解：(1)证明：如图，过点B作BGAD于点G，由于平面PAD平面ABCD，由面面垂直的性质定理可知BG平面PAD，又PD平面PAD，故PDBG；同理，过点B作BHCD于点H，则PDBH.又BG平面ABCD，BH平面ABCD，BGBHB，PD平面ABCD，PDAC，又BDAC，故AC平面PBD，又AC平面EAC，平面EAC平面PBD.(2)若
11、四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分，则三棱锥EABC的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥EABC的高为h，底面ABCD的面积为S，则ShSPD，由此得hPD，故此时E为PB的中点19(本小题满分12分)(2020湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，点C在上，且CAB30，D为AC的中点(1)证明：AC平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值解：(1)因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO，而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平
12、面PAC，在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC，连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOAsin30.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)(2020山东)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明：(1)证法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD.所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.证法二：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDDD1.取AB的中点G，连接DG.在ABD中，由AB2AD得，AGAD，又BAD60，所以ADG为等边三角形，因此GDGB, 故DBGGDB.又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD，又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(2)连接AC，A1C1，设ACBD
