《2020版高三数学一轮 11.1 计数原理精品复习学案（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高三数学一轮 11.1 计数原理精品复习学案（通用）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020版高三数学一轮精品复习学案第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布【知识特点】1本章是高中数学中相对独立的一部分，概念性强、灵活性强、思维方法独特；2本章内容应用性强，与实际问题联系密切，读不懂题意、题意理解错误往往是解不出题的原因。【重点关注】1排列、组合问题及随机变量的分布列、期望、方差是必考的内容。准确确定随机变量的取值，准确计算概率是求分布列的基础，在复习过程中要多角度地加大训练力度。2在解题过程中要注意“分类讨论”“正难则反”的思想。【地位与作用】1计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理
2、，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，将复习到计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。2概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已经渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率，产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率。概率在整个高中数学中占有重要地位，在整个高考考试中也占据着重要的地位。3对本章而言，高考中主要以选择、填空或解答题的形式考查，属于中、低档题。重点考查的是两个计数原理、古典概型、离散型随机变量的分布列及其期望、方差等，预计本章在今后的高考中仍将在计数原理、古典概型、几何模型及随机变量的分布列等处命题。11
3、1 计数原理【高考目标导航】一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1考纲点击（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；（2）全用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。2热点提示（1）主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理及分类讨论思想；（2）对两个原理的考查一般在选择、填空题中出现。二、排列与组合1考纲点击（1）理解排列、组合的概念；（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合公式；（3）能解决简单的实际问题。2热点提示（1）排列、组合问题每年必考；（2）以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力；（3）以选择、填空的形式考查，或
4、在解答题中和概率相结合进行考查。三、二项式定理1考纲点击（1）能用计数原理证明二项式定理；（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；2热点提示（1）本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等；（2）以选择、填空题的形式考查，属于低档题。【考纲知识梳理】一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么
5、完成这件事共有N=mn种不同的方法。注：在解题过程中，如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理。二、排列与组合排列与排列数组合与组合数定义1排列：从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2排列数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。1组合：从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2组合数：从n个不同元素中取出m（mn）
6、个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。公式排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注注：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。三、二项式定理1二项式定理公式叫做二项式定理。其中叫做二项式系数。叫做二项展开式的通项，它表示第项。注：在公式中，交换的顺序从整体看，相同，但具体到某一项是不同的，如第项。2二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即。（2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的。当是偶
7、数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即。二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即。注：二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念。二项式系数的指，它只与各项的项数有关，而与的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关。【要点名师透析】一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理相关链接1如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就
8、用分类加法计数原理；2在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。例题解析例在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析： 采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，20，10种取法。当一个加数是11时，另一个加数可以是1
9、2，13，20，9种取法。当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。由分类加法计数原理可得共有1+2+3+10+9+8+=100各取法。（二）分步乘法计数原理的应用相关链接1如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。2解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。例题解析例某体育彩
10、票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？思路解析：本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。解答：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法。由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共
11、有15107=1050注，故至少要花10502=2100元。（三）两个计数原理的综合应用例用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数。思路解析：先根据条件把“比2000大的四位偶数”分类选取千位上的数字选取百位上的数字选取十位上的数字。解答：完成这件事有3类方法：第一步是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分类乘法计数原理，这类数的个数有443=4
12、8个；第二步是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分步乘法计数原理，这类数的个数有343=36个；第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类。对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的的比2000大的四位偶数有443+343+343=120。注：（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类
13、的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。二、排列与组合（一）排列数、组合数计算相关链接1排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列
14、数的式子的变形与论证；2组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。注：在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。例题解析例计算下列各式的值（1）（2）（3）思路解析：利用排列数和组合数的公式及意义求解，（2）中注意n的取值范围。解答：（1）方法一：方法二：（2）若有意义，则解得。（3）（二）排列应用题相关链接求排列应用题的主要方法有：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）特殊元素（或位
15、置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列； （5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（6）分排问题直排处理的方法；（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正难则反，等价转化的方法。例题解析例有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人。思路解析：无限制条件的排列问题，直接利用排列数
