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1、阶段质量检测(四)数列、不等式(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面有四个命题：如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列，通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4【解析】中an.中显然是两个不同的数列故、正确，故选B.【答案】B2已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A4 B.C4 D【解析】an
2、是等差数列，S55a355，a311.a4a315114，kPQ4.【答案】A3(2020年柳州模拟)等比数列an中，a1a310，a4a6，则公比q()A. B.C2 D8【解析】依题意，a4a1q3，a6a3q3，a4a6(a1a3)q3，10q3，q3，q.【答案】B4设数列an是首项为m，公比为q(q1)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的nN*，点()A在直线mxqyq0上B在直线qxmym0上C在直线qxmyq0上D不一定在一条直线上【解析】由得qny1，代入得x(y1)，即qxmym0.【答案】B5数列an中，若an1，a11，则a6等于()A13 B.C11 D.【解析】2
3、，是以1为首项，以2为公差的等差数列1(n1)22n1，12111，a6.【答案】D6如果数列an的前n项和Sn(3n2n)，那么这个数列()A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列【解析】依题意，Sn(3n2n)n1，a1S1.当n2时，anSnSn1nn1n1.n1时适合，ann1.故an是等比数列而不是等差数列【答案】B7定义：在数列an中，an0且an1，若aan1n为定值，则称数列an为“等幂数列”已知数列an为“等幂数列”，且a12，a24，Sn为数列an的前n项和，则S2 009()A6 026 B6 024C2
4、 D4【解析】aa212416aa324a3，得a32，同理得a44，a52，这是一个周期数列S2 009(24)26 026.【答案】A8实数x，y满足不等式组，则m的取值范围是()A. B.C. D.【解析】作出可行域如图，由m=，可得m的范围是阴影区域内的点与(-1,1)点连线的斜率的范围，kAB= ，过A点与直线y=x平行的直线斜率为1，m.【答案】D9(2020年哈师大附中模拟)已知an是递增数列，对任意的nN*，都有ann2n恒成立，则的取值范围是()A. B(0，)C(2，) D(3，)【解析】结合二次函数f(x)x2x，可知开口向上，对称轴是，要使f(x)在1，)递增，只需1，
5、但由于ann2n中nN*，故只需3.【答案】D10(2020年上海春招)已知函数f(x)，若f(x0)3，则x0的取值范围是()Ax08 Bx08Cx00 Dx00或0x03，即x011，x00；若x03，即x0238，x08(舍去)【答案】C11某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处【解析】由题意可设y1，y2k2x，k1xy1，k2，把x10
6、，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8，y1，y20.8x(x为仓库与车站距离)，费用之和yy1y20.8x28，当且仅当0.8x，即x5时等号成立，故选A.【答案】A12若钝角三角形ABC三内角A，B，C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，则m的取值范围是()Am2 B0m2C1m2 Dm2【解析】设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，三内角度数成等差数列，B60，于是b2a2c2ac.又三角形ABC是钝角三角形，若C为钝角，则b2a2c20，2a2ac2，即m2.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13关于
7、x的不等式x2(a1)xab0的解集是x|x4，则实数a、b的值分别为_【解析】由不等式的解集为x|x4可得，1,4是方程x2(a1)xab0的两根，解得a4，b1.【答案】4,114已知x、y满足则z2xy的最大值为_【解析】不等式组所表示的可行域如图所示，当平行直线系z=2x+y经过点A(2，-1)时，目标函数z=2x+y取得最大值，z最大值=22+(-1)=3.【答案】315(2020年汤阴模拟)已知正数a、b满足abab3，则ab的取值范围为_，ab的取值范围是_【解析】由abab323，即ab230，(3)(1)0，30，ab9.由ab3ab2，(ab)24(ab)120，(ab2)
8、(ab6)0，ab2(舍去)，ab6.【答案】9，)6，)16.某人按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为an，则数到2 010时对应的指头是_，数列an的通项公式an_.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)【解析】注意到数1,9,17,25，分别都对应着大拇指，且18(2521)2 009.因此数到2 010时对应的指头是食指对应中指的数依次是：3,7,11,15，因此数列an的通项公式是an3(n1)44n1.【答案】食指4n1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10
9、分)已知函数yx2pxq，当y0时，有x0.【解析】当y0时，有x0可变为x2x10，即x2x60，2x0的解集为x|2x57时n的取值范围【解析】(1)n，an，Sn成等差数列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)两边加1得an12(an11)(n2)，2(n2)又由Sn2ann得a11.数列an1是首项为2，公比为2的等比数列an122n1，即数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n110.Sn1Sn，Sn为递增数列由题设，Sn57，即2n1
10、n59.又当n5时，26559，n5.当Sn57时，n的取值范围为n6(nN*)19(12分)设f(x).(1)求f(x)在0，)上的最大值；(2)求f(x)在2，)上的最大值【解析】(1)当x0时，有x2，f(x)25.当且仅当x，即x1时等号成立，而当x0时，f(0)0，所以f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函数yx在2，)上是增函数且恒为正，f(x)在2，)上是减函数，且f(2)20，所以f(x)在2，)上的最大值为20.20(12分)(2020年天门模拟)已知二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100(nN*)(1)设函数yf(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an，求
11、证数列an是等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到y轴距离构成数列dn，求数列dn的前n项和；(3)在(1)的条件下，若数列cn满足cn1(nN*)，求数列cn中值最大的项和最小项【解析】(1)yf(x)顶点横坐标为x，an103n，anan13，an是等差数列，且an103n.(2)设dn的前n项和为Sn.yf(x)的顶点坐标到y轴的距离dn|103n|，当n3时，Sn，当n4时，d42，SnS312(3n217n48)Sn.(3)cn111，cn中的最小项为c21，cn中的最大项为c33.21(12分)职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)(1.192.36,1.1102.59)【解析】设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)元第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)2元第1年还款x元，过9年欠款全部还清
