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1、GM(1,1)预测模型的应用灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型：(1) 数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。(2) 灾变预测。这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。(3) 季节灾变预测。若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。(4) 拓扑预测。这类预测是对一段时间系统行为特征数据波形的预测。例1（数列预测）：设原始序列试用GM(1,1)模型对进行模拟和预测，并计算模拟精度。解：第一步：对进行一次累加，得 第二步：对作准光滑性检验。由 得。 当k
2、3时准光滑条件满足。 第三步：检验是否具有准指数规律。由 得 当k3时，准指数规律满足，故可对建立GM(1,1)模型。 第四步：对作紧邻均值生成，得 于是 第五步：对参数列进行最小二乘估计。得 第六步：确定模型 及时间响应序列 第七步：求的模拟值 第八步：还原求出的模拟值。由 得 第九步：检验误差。由下表可算出残差平方和：误差检验表序号实际数据模拟数据残差-相对误差23453.2783.3373.3903.6793.23003.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%平均相对误差1.6025% 第十步：预测 例
3、2 （灾变预测）：某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。一般来说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。为尽量减少生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前做好原料储备，所收集数据见下表，并规定每亩平均收获量小于320千克时为欠收年份，将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。原料收获统计表年份199119921993199419951996199719981999收获量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收获量(
4、千克)300632540406.2314576587318第一步：将上表中年份用序号替换，并找出收获量小于320千克的年份序号形成初始序列。本例初始序列：一次累加生成序列：的紧邻均值生成序列：第二步：按建GM(1,1)模型。第三步：预测当t=6时， 因此，下次发生收获量小于320千克的年份为：2011年至2012年，即四至五年后将出现欠收年份。其他预测类型见参考书。五、残差GM(1,1)模型 当GM(1,1)模型精度不符合要求时，可使用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来模型进行修正，以提高精度。定义4 设 其中，-为的残差序列。若存在k0，满足 1. 2.，则称 为可建模残差尾段，仍记为
5、命题1 设为可建模残差尾段，其一次累加序列 的GM(1,1)模型的时间响应式为 则残差尾段的模拟序列为其中 定义5 若用修正则称修正后的时间响应式 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。定义6 若则相应的残差修正时间响应式称为累减还原式的残差修正模型。例题 省云梦县油菜发病率数据为建立GM(1,1)模型，得时间响应式为作累减还原，得检验其精度：列出误差检验表误差检验表序号实际数据模拟数据残差-相对误差234567891011121320402540453521141815.5171535.670433.430331.330829.
6、368227.519225.790124.171922.653421.230719.897418.647817.4768-15.67046.5697-6.330810.631817.48089.2099-3.1719-8.6534-3.2307-4.3974-1.6478-2.476878.3540%16.4242%25.3232%26.5795%38.8642%26.3140%15.1043%61.8100%17.9483%28.3703%9.6926%16.5120% 平均相对误差30.11%由此可见，相对精度不到70%，需采用残差模型进行修正。取k0=9，得残差尾段 此为可建模残差尾段，
7、去绝对值，得建立GM(1,1)模型，得的一次累加序列的时间响应式： 其导数还原值为 由可得累减还原式残差修正模型为其中，的符号与原始残差序列的符号一致。按此模型，可对k=10,11,12,13四个模拟值进行休整，修正后的精度如下表：误差检验表序号实际数据模拟数据残差-相对误差101112131815.5171517.185816.479915.760415.03720.8142-0.97991.2396-0.03724.52%6.32%7.29%0.25% 平均相对误差4.595%残差修正GM(1,1)模型的模拟精度得到了明显提高。因此时残差序列已不满足建模要求，若对残差精度仍不满意，就只有考
8、虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。六、GM(1,1)模型群在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。一般来说，去不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数a,b的值也不一样。这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。例如我国的粮食产量，若采用建国以来的数据建立GM(1,1)模型，发展系数-a偏小；而舍去1978年以前的数据，用剩余的数据建模，发展系数-a明显增大。定义1 设序列将取为时间轴的原点，则称tn为未来。定义2 设序列，为其GM(1,1)时间相
9、应式的累减还原值，则：1.当时，称为模型模拟值；2.当时，称为模型预测值。建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是t=n时的模拟精度。因此建模数据一般应取为包括在的一个等时距序列。定义3 设原始数据序列1.用建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)；2.，用建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)；3.设为最新信息，将置入，称用建立的模型为新信息GM(1,1)；4.置入新信息，去掉最老信息，称用建立的模型为新代GM(1,1)。很显然，新信息模型和新代模型预测效果会更好。任何一个系统随着时间的推移，将会不断地有一些随机扰动或驱动因素进入系统，使
10、系统的发展受到影响。因此，在实际预测中，必须不断地将每一个新数据置入，已考虑到这些随机或驱动因素。相比之下，新代模型是最理想的模型。随着系统的发展，老数据的信息意义将逐步降低，在不断补充新信息的同时，及时地去掉老数据，建模序列更能反映系统在目前的特征。七、GM(1,1)模型的适用围可以证明，当GM(1,1)的发展系数时，GM(1,1)模型无意义。因此，是GM(1,1)发展系数a的禁区。在此区间，GM(1,1)模型失去意义。一般地，当时，GM(1,1)模型有意义。但是，随着a的不同取值，预测效果也不同。通过数值分析，有如下结论：（1）当时，GM(1,1)的1步预测精度在98%以上，2步和5步预测
11、精度都在97%以上，可用于中长期预测；（2）当时，GM(1,1)的1步和2步预测精度都在90%以上，10步预测精度也高于80%，可用于短期预测，中长期预测慎用；（3）当时，GM(1,1)用作短期预测应十分慎重；（4）当时，GM(1,1)的1步预测精度已低于70%，应采用残差修正模型；（5）当时，不宜采用GM(1,1)模型。八、GM(1,N)、GM(0,N)、GM(2,1) 和Verhulst模型1、GM(1,N)模型1阶n维灰色模型。定义：设为系统特征数据序列，而 为相关因素序列，的紧邻均值生成序列，则称为GM(1,N)模型。2、GM(0,N)模型定义：设为系统特征数据序列，为相关因素序列，则称为GM(0,N)模型。GM(0,N)不含导数，因此为静态模型。它形如多元线性回归模型，但与一般的多元线性回归模型有着本质的区别。一般的多元线性回归建模以原始数据序列为基础，GM(0,N)的建模基础则是原始数据的一次累加序列。3、GM(2,1)模型GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列，可以考虑建立GM(2,1)模型,DGM和Verhulst模型。参考书灰色系统理论及其应用（第三版），思峰等著，科学，2007
