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1、2020年高三数学一轮复习 选修4-1第2课时知能演练轻松闯关 新人教版一、填空题1.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CDAB，垂足为D，已知AD2，CB4，则CD_.解析：根据射影定理得CB2BDBA，即(4)2BD(BD2)，得BD6，又CD2ADBD12，所以CD2.答案：22如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_.解析：连接BD(图略)，由题意知，ADBMAB35，BDC90，故DADBBDC125.答案：1253.(2020高考广东卷)如图所示， 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点
2、使得BC5，BACAPB，则AB_.解析：根据圆的性质有PABACB, 而BACAPB，故PABACB，故有，将PB7，BC5代入解得AB.答案：4(2020高考广东卷)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD，OAP30，则CP_.解析：APPB，OPAB.又OAP30，APa.由相交弦定理得CPPDAP2.CPa2a.答案：a5.(2020高考湖南卷)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_解析：如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE3
3、0，AOB60，故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.答案：6.(2020高考北京卷)如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_；CE_.解析：由圆的割线定理知：ABACADAE，AE8，DE5.连接EB(图略)，EDB90，EB为直径，ECB90.由勾股定理，得EB2DB2ED2AB2AD2ED21692532.在RtECB中，EB2BC2CE24CE2，CE228，CE2.答案：52二、解答题7.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD2，DEAB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长解：连接OD
4、，DB，则ODDC.在RtOED中，OEOBOD，所以ODE30.在RtODC中，DCO30，由DC2，则ODDCtan 30，又CDBCOD30，所以CDBDCO，所以BCBDOD，所以BC.8.(2020高考江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值证明：如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值9.如图所示，以直角三角形ABC的
5、直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.请判断DE是否为O的切线，并证明你的结论解：DE是O的切线如图，连接OD、CD，则ODOC，OCDODC.又AC为O的直径，ADC90.三角形CDB为直角三角形又E为BC的中点，DEBCCE，ECDEDC.又OCDECD90，ODCEDC90，即ODE90，DE为O的切线10.(2020高考辽宁卷)如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SADAE，求BAC的大小解：(1)证明：由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角，所以AEBACD.故
6、ABEADC.(2)因为ABEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC，且SADAE，故ABACsinBACADAE.则sin BAC1.又BAC为ABC的内角，所以BAC90.11.如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过B引O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F. (1)求证：AB2AEBC；(2)已知BC8，CD5，AF6，求EF的长解：(1)证明：因为BE切O于B，所以ABEACB.由于ADBC，所以BAEABC.所以EABABC.所以.故AB2AEBC.(2)由(1)，知EABABC，所以.又AEBC，所以 .所以.因为ADBC，所以.所以ABCD.所以.所以EF
7、.12.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D. (1)求ADF的度数；(2)若ABAC，求的值解：(1)AC为圆O的切线，BEAC，又CD是ACB的平分线，ACDDCB，BDCBEACACD，即ADFAFD.又BE为圆O的直径，BAE90，ADF(180BAE)45.(2)BEAC，ACEBCA，ACEBCA，.又ABAC，BACB，BACBEAC，由BAE90及三角形内角和定理知，B30，在RtABE中，tan Btan 30.13.如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，DE交AB于点F，且AB2BP
8、4. (1)求PF的长度；(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度解：(1)连接OC，OD，OE，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC，又CDEPPFD，AOCPOCP，从而PFDOCP，故PFDPCO，.由割线定理知，PCPDPAPB12，故PF3.(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF2r1，即r1.所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT，则PT2PBPO248，即PT2.14.(2020高考课标全国卷)如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的
9、长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径解：(1)证明：如图，连接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.如图，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G、F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
