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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷文 科 数 学（九）注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】求解指数不等式可得：，则：，本题选择D选项
2、2若复数（为虚数单位，）是纯虚数，则实数的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】令，则：，据此可得：，本题选择B选项3等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由韦达定理可得：，结合等差数列的性质可得：，则：本题选择D选项4已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得：，且：，则向量在向量方向上的投影为：本题选择D选项5已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数
3、为，方差为，故选A6双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为：，其斜率为：，其中一条渐近线与直线平行，则：，则双曲线的离心率：本题选择A选项7已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个半圆柱形成的组合体，其中正方体的棱长为，半圆柱的底面直径为，高为，据此可得，几何体的体积为：本题选择B选项8已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲
4、的年龄小，则下列判断正确的是（ ）A甲是军人，乙是工人，丙是农民B甲是农民，乙是军人，丙是工人C甲是农民，乙是工人，丙是军人D甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人本题选择A选项9执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】程序流程图执行如下：首先初始化数据：，进入循环体执行循环：第一次循环：，不满足，执行：，；第二次循环：，不满足，执行：，；第三次循环：，不满足，
5、执行：，；第四次循环：，满足，此时跳出循环，输出本题选择B选项10已知实数，满足，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为可行域内的点与点之间距离的平方，如图所示数形结合可得，当目标函数过点时取得最小值，最小值为：本题选择C选项11已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，则：，由题意可知：，则函数在上单调递增，且，不等式即，即：，结合函数的单调性可得不等式的解集为：，表示为区间形式即为本题选择A选项12已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，过点，的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物
6、线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）ABCD2【答案】B【解析】由题可知抛物线的焦点为，过，的直线方程为，联立方程组，由题可知，（舍去），又由，因此，又由题可知，即得，又，当且仅当时取等号，即，故选B第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则_【答案】【解析】角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，所以故答案为：14一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球
7、中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是_【答案】【解析】设正方体的棱长为，其体积，内切球直径为，其体积：，利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是：15已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的公比等于_【答案】【解析】由得，所以，所以，因为的各项均为正数，所以，所以16边长为2的等边的三个顶点，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】设球半径为，则，解得设所在平面截球所得的小圆的半径为，则故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在圆内接四边形中，（1）求的大
8、小；（2）求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理得，解得，注意到，可得（2）法1：在中，由余弦定理得，即，即当且仅当，为等腰三角形时等号成立，即面积的最大值为法2：如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，在中，由，得，可得，综上知，即面积的最大值为18（12分）在梯形中（图1），过、分别作的垂线，垂足分别为、，已知，将梯形沿、同侧折起，使得，得空间几何体（图2）（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接交于，取的中点，连接，则是的中位线，所以，由已知得，所以，连接，又因为面，面，所以面，即
9、面（2）解：由已知得，四边形为正方形，且边长为2，则在图2中，由已知，可得面，又平面，所以，又，所以平面，且，所以面，所以是三棱锥的高，四边形是直角梯形，19（12分）某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况，从中抽取了名学生的体质测试成绩，得到的频率分布直方图如图1所示，样本中前三组学生的原始成绩按性别分类所得的茎叶图如图2所示（1）求，的值；（2）估计该校高三学生体质测试成绩的平均数和中位数；（3）若从成绩在的学生中随机抽取两人重新进行测试，求至少有一名男生的概率【答案】（1），；（2），；（3）【解析】（1）由茎叶图可知分数在的有4人，所以，解得（2），由，得（3）两名男生
10、分别记为，四名女生分别记为，从中任取两人共有，共15种结果，至少有一名男生的结果有，共9种结果，所以至少有一名男生的概率为20（12分）已知，点是动点，且直线和直线的斜率之积为（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则依题意得，又，所以有，整理得，即为所求轨迹方程（2）法1：设直线：，与联立得，即，依题意，即，得，而，得，又，设为以为直径的圆上一点，则由，得，整理得，由的任意性得且，解得，综上知，以为直径的圆过轴上一定点法2：设，则曲线在点处切线：，令，得，设，则由得，即，由的任意性得
11、且，解得，综上知，以为直径的圆过轴上一定点21（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）由题得，的定义域为，当时，恒成立，故在区间上单调递减，无递增区间；当，由，得，由，得所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）若，恒成立，即在区间上的最小值大于等于0，由（1）可知，当时，恒成立，即在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，故，当时，若，即时，对恒成立，所以在区间上单调递减，则在区间上的最小值为，显然的区间上的最小值大于等于0成立若，即时，则有0单调递减极小值单调递增所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即综上
12、所述，实数的取值范围是请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的方程是：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）设过原点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲线：，即，将，代入得，曲线的极坐标方程为（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，如图，在中，易得，可知直线的斜率为法2：设直线：（为参数），代入中得，整理得，由得，即，解得，从而得直线的斜率为法3：设直线：，代入中得，即，由得，即，解得直线的斜率为法4：设直线：，则圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，所以，解得直线的斜率为23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求的最大值；（2）设，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）法1：由知，即法2：由三角不等式得，即法3：由绝对值不等式的几何意义知，即（2）法1：，当且仅当，即，时取等号，即法2：，由柯西不等式得，整理得，当且仅当，即，时取等号
