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1、试卷代号 1076 座位号rn 国家开放大学20 1 9年春季学期期末统一考试 常微分方程试题 半开卷 2019年7月 1 1 I I I四 五I色分1 得分1评卷人 一 单项选择题 每小题3分 本题共15分 1 微分方程xzy y x气 的通解为y I A e了 r十C 1 B e x C C e x x C D e工 r十C 2 方程 dy z x cos dx y的所有常数解是 0 耘 2 yy AC 六 2 y B 穴 D y k穴 k O 士1 士2 2 3 方程y x2y x3y 工sinx的任一解的最大存在区间必为 A 00 0 13 0 十oo C oo 十oo D 1 十oo
2、 4 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零斛之差 A 不是其对应齐次微分方程组的解B 是非齐次微分方程组的解 C 是非齐次微分方程组的通解D 是其对应齐次微分方程组的解 5方程组 y的奇占 0 0 的类型是 x dt A 中心 C 鞍点 B 焦点 D 结点 220 得分1评卷人 二 填空题 每小题3分 本题共15分 6 微分方程 r y 2 2yy 3 r 0是阶微分方程 dy 7 方程一 工2 cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是 d r dy 8 方程一 if 二了的奇解是 d r 9 二阶线性方程y y 0的基本斛组是 10 向量函数组在区间I上的朗斯基行列式W r O是它们线性相
3、关的 条件 得分1评卷人 三 计算题 每小题8分 本题共40分 dv 11 用分离变蜇求方程 二 y y 1 的韶 扣 dy y 12 求一阶线性非齐次方程 工2的韶 dx工 13 求全微分方程Zxydx r2 dy O的解 y 14 求克莱洛方程y xy y 2的斛 15 求可降阶的高阶方程y3y 1 0的韶 得分1评卷人 四 计算题 本题共15分 16 求二阶常系数线性微分方程y 5y sin切的解 得分1评卷人 五 证明题 本题共15分 17 若fCu 在 oo 十沈 上连续可微 且当u O时 uf u O 求证 方程 dy x勹 siny dx 的任一解y y x 均在 一中 十沈 上
4、存在 221 试卷代号 1076 国家开放大学2019年春季学期期末统一考试 常微分方程试题答案及评分标准 半开卷 供参考 2019年7月 一 单项选择题 每小题3分 本题共15分 1 B 2 D 3 C 二 填空题 每小题3分 本题共15分 6 一 7 全平面 8 y 士1 9 cosx sinx 10 必要 三 计算题 每小题8分 本题共40分 11 解当y y 1 0时 分离变量 得 1 dy dx y y 1 积分 得 1 y y l dy f dx C 1 4 D 5 A 通积分为lnI 1 I I y 1 y ln y l x C1 即 Ce工 y C 12 解齐次方程的通解为y
5、设原方程的通解为y 一 C x X 4 X 代入原方程 得C x C 4 X 1 所以 原方程的通解为y cc x勹 1 X 4 1 JM JN 13 解因为M x y Zxy N x y x2 勹 Zx y Jy归 所以原方程是全微分方程 222 3分 5分 8分 4分 8分 3分 取 xo yo 0 1 原方程的通积分为 J 2xydx 尸 dy C1 y 1 即x2y C y 14 解克莱洛方程 通解为 y Cx c2 dp 1 15 解令y p y p一代入方程 得pdp zdy dy y 1 1 1 1 Cy2 积分 得 扩 y 2 CI p 2 勹 C 2 2 y y2 dy 1
6、Cy2 正 土y 分离变量 积分得Iydy 士fdx C2 1 Cy2 原方程的通积分为1 Cy 2 C Cx C 3 2 四 计算题 本题共15分 16 解方程的特征根为入1 O 从 5 齐次方程的通解为y C1 C2e釭 因为a士i 3 士扣不是特征根 所以 设非齐次方程的特解为 y1 x Asin5x Bcos5x 25A 25B l 代入原方程 比较系数得 25A 25B O 1 1 确定出A B 50 50 原方程的通解为y C1 C2产 1 cos ix s1n ix 50 五 证明题 本题共15分 6分 8分 8分 3分 5分 8分 6分 12分 05分 17 证明由已知条件 方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件 6分 由已知条件容易证明f O O 于是方程有无穷多个常数解y n穴 n O 士1 土2 它们是平面上的一族平行直线 9分 设Cxo Yo 是任一初始点 则相应的初值解y y x 的函数图像或者是上述平行线中的一 条或是介于某两条平行线之间 由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为 oo 十oo 05 分 223
