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1、绝密 启用前 江西省宜春市第九中学2019 2020 学年高二下学期第二次月 考数学试卷 学校 姓名 班级 考号 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡 上 一 选择题 本大题共12 小题 共60 0 分 1 设 1 i x 1 yi 其中x y是实数 则 x yi A 1 B C D 2 2 复数z 的虚部为 A 1 B 3 C 1 D 2 3 满足 i i为虚数单位 的复数z A iB iC iD i 4 圆的极坐标方程为 2 cos sin 则该圆的圆心极坐标是 A B C D 5 如图是函数的导函数的图象 给出下列命题 是函数的极值点 是函数
2、的最小值点 在处切线的斜率小于零 在区间上单调递增 则正确命题的序号是 A B C D 6 若 2x dx 3 ln2 则a的值是 A 6 B 4 C 3D 2 7 由曲线 直线y x 2 及y轴所围成的图形的面积为 A B 4 C D 6 8 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点 则落入阴影部分 曲线C的方程为x 2 y 0 的点的个数的估计值为 A 5000 B 6667 C 7500 D 7854 9 曲线 y xe x 1 在点 1 1 处的切线方程为 A y 2x 1B y 2x 1C y x 2D y x 2 10 函数f x ax 2 bx a 0 b 0 在点 1 f
3、 1 处的切线斜率为2 则 的最小值是 A 10 B 9 C 8D 11 点P是曲线y x 2 上任意一点 则点P到直线y x 2 的距离的最小值是 A 1 B C 2D 2 12 已知函数 f x sin x 且 则函数f x 的图象的一条对称轴 是 A x B x C x D x 二 填空题 本大题共4 小题 共20 0 分 13 在极坐标系中 直线 cos sin 1 0 与圆 2cos 交于A B两点 则 AB 14 已知f x x 2 3xf 2 则 1 f 1 15 若f x ax 2 a 2 x a 2 是偶函数 则 x 2 x dx 16 如图 由抛物线y 2 8x 与直线x
4、y 6 0 及x轴所围成的图形 图中阴影部分 的面积 为 三 解答题 本大题共6 小题 第17 题 10 分 其他各题每题12 分 共 70 0 分 17 设复数 z m 2 2 m 3 m 2 3m 2 i 试求实数m取何值时 1 z是实数 2 z是纯虚数 3 z对应的点位于复平面的第二象限 18 已知 F x dt x 0 1 求F x 的单调区间 2 求函数F x 在 1 3 上的最值 19 已知曲线 及 1 当k 1时 求上述曲线所围成的图形面积 2 用定积分表示曲线及所围成的图形面积 并确定取何值 时 使所围图形的面积最小 20 设函数f x x 3 ax2 bx c 的导数f x
5、满足f 1 0 f 2 9 1 求f x 的单调区间 2 f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求c的值 3 若函数f x 的图象与x轴有三个交点 求c的范围 21 已知函数f x x alnx g x a 0 1 若a 1 求f x 的极值 2 若存在x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 求实数a的取值范围 22 已知函数f x a a 0 1 当a 1时 求曲线f x 在点 1 f 1 处切线的方程 2 求函数f x 的单调区间 3 当x 0 时 若f x 1 恒成立 求a的取值范围 江西省宜春市第九中学2019 2020 学年高二下学期第二次月 考数学试卷答案 一 选择题 本大
6、题共12 小题 共60 0 分 23 设 其中 x y 是实数 则 A 1 B C D 2 答案 B 分析 本题主要考查复数模长的计算 根据复数相等求出x y 的值是解决本题的关键 属于基础题 根据复数相等求出x y 的值 结合复数的模长公式进行计算即可 解答 解 即 解得 即 故选B 24 复数的虚部为 A B C 1 D 2 答案 B 分析 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 属于基础题 按照复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 解 复数的虚部为 故选B 25 满足为虚数单位的复数 A B C D 答案 B 分析 本题主要考查复数的计算 比较基础 根据复数的基本运算即可得
7、到结论 解答 解 即 故选 B 26 圆的极坐标方程为 则该圆的圆心极坐标是 A B C D 答案 B 分析 本题考查圆的圆心极坐标的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意极坐标方程和直角坐 标方程的互化公式的合理运用 由极坐标方程求出圆的直角坐标方程 从而求出该圆的圆心的平面直角坐标 由此能求出该 圆的圆心的极坐标 解答 解 极坐标方程为 该圆的圆心的平面直角坐标为 该圆的圆心的极坐标为 故选B 27 如图是函数 的导函数的图象 给出下列命题 是函数的极值点 是函数的最小值点 在处切线的斜率小于零 在区间上单调递增 则正确命题的序号是 A B C D 答案 B 分析 本题考查导函数图象与原函
8、数图象间的关系 重点是考查利用导数研究函数单调性 求极值 和最值及导数的几何意义的理解 根据导数的几何意义可判断出错误 根据导数与函数的单调性 极值点关系 结合图象判 断在上单调递减 在上单调递增 可判断正确 错误 解答 解 由导函数图象可知 在上 单调递减 在上 单调递增 是函数的极小值点 故正确 错误 根据导数的几何意义 可知在处的导函数值大于零 即此处切线斜率是大于零的 故 错误 故选B 28 若 则 a 的值是 A 6 B 4 C 3D 2 答案 D 解 因为 所以 所以 故选 D 将等式左边计算定积分 然后解出a 本题考查了定积分的计算 关键是正确找出被积函数的原函数 29 由曲线
9、直线及 y 轴所围成的图形的面积为 A B 4 C D 6 答案 C 分析 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键 要确定出曲线 直线的 交点 确定出积分区间和被积函数 利用导数和积分的关系完成本题的求解 本题考查曲边图形面积的计算问题 考查学生分析问题解决问题的能力和意识 考查学生的 转化与化归能力和运算能力 考查学生对定积分与导数的联系的认识 求定积分关键要找准 被积函数的原函数 属于定积分的简单应用问题 解答 解 联立方程得到两曲线的交点 因此曲线 直线及 y 轴所围成的图形的面积为 故选C 30 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点 则落入阴影部分曲线C的方程为 的点的
10、个数的估计值为 A 5000 B 6667 C 7500 D 7854 答案 B 分析 本题考查概率的计算 涉及定积分求面积 属于基础题 由题意 阴影部分的面积 正方形的面积为1 求出投掷 一个点落入阴影部分的概率 结合正方形中随机投掷10000 个点 即可得出结论 解答 解 由题意 阴影部分的面积 正方形的面积为1 任意投掷一个点 落入阴影部分的概率为 正方形中随机投掷10000 个点 落入阴影部分曲线C的方程为的点的个数的估计值为 故选 B 31 曲线 在点处的切线方程为 A B C D 答案 B 分析 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程 计算得结论 解答 解 因为函数的导数为 可得
11、曲线在点处的切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 即为 故选B 32 函数 在点处的切线斜率为2 则的最小 值是 A 10 B 9 C 8D 答案 B 分析 本题主要考查了导数的几何意义及利用基本不等式求最值 属于中档题 由 得 把变形为后整体乘以1 展开后利用基本不等 式求最小值 解答 解 由 得 又在点处的切线斜率为2 所以 即 则 当且仅当 即时等号成立 所以的最小值是9 故选B 33 点 P是曲线 上任意一点 则点P到直线的距离的最小值是 A 1B C 2D 答案 B 分析 本题考查了导数的几何意义以及点到直线的距离 属于中档题 对 y 求导 当点 P是曲线的切线中与直线平行的直线
12、的切点时 点 P到直线 的距离的最小 解答即可 解答 解 由题意 当点 P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时 点P到直线的距离最 小 令 解得 所以点 P的坐标为 故点 P到直线的最小值为 故选 B 34 已知函数 且 则函数的图象的一条对称轴是 A B C D 答案 A 分析 本题主要考查定积分 函数的图象的对称性 两角和与差的三角公式的应用 属于中档题 由求 得 故 有 可 取 则 令 求得 x 的值 可得函数的图象的一条对称轴方程 解答 解 函数 即 故可取 即 令 求得 则函数的图象的一条对称轴为 故选 A 二 填空题 本大题共4 小题 共20 0 分 35 在极坐标系中 直线 与
13、圆交于 A B两点 则 答案 2 分析 本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系 考查了计算 能力 属于基础题 先把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程 再计算弦长 解答 解 直线化为 y 直线 圆化为 配方为 可得圆心 半径 因为 所以圆心C在直线上 故答案为2 36 已知 则 答案 分析 本题考查函数与导数 求导公式的应用及函数值求解 属于中档题 先求出 令 可得 即可求出 进而可得到答案 解答 解 因为 所以 令 得 所以 所以 所以 故答案为 37 若 是偶函数 则 答案 解 若是偶函数 则 即 故 则 故答案为 根据函数的奇偶性求出a 的值 求定积分的值即
14、可 本题考查了函数的奇偶性问题 考查求定积分的值 是一道中档题 38 如图 由抛物线 与直线及 x 轴所围成的图 形图中阴影部分的面积为 答案 分析 此题考查利用定积分求图形的面积问题 解题的关键是将图象的面积分为两部分进行处理 根据定积分的定义结合图象可得 然后利用定积分的定义进 行计算 解答 解 由 解得 舍 由 令 解得 设所求图形面积为 故答案为 三 解答题 本大题共6 小题 共72 0 分 39 设复数 试求实数m取何值时 是实数 是纯虚数 对应的点位于复平面的第二象限 答案 解 由 解得或 或时 z 是实数 由 解得 时 z 是纯虚数 由 解得 当 z 对应的点位于复平面的第二象限
15、 由 解出即可得出 由 解得即可得出 由 解得即可得出 本题考查了复数的运算法则 复数为实数纯虚数的充要条件 几何意义 不等式的解法 考 查了推理能力与计算能力 属于中档题 40 已知 求的单调区间 求函数在上的最值 答案 解 依题意得 定义域是分 令 得或 令 得 且函数定义域是 函数的单调增区间是 单调递减区间是分 令 得舍 由于函数在区间上为减函数 区间上为增函数 且 在上的最大值是 最小值是分 由定积分计算公式 结合微积分基本定理算出再利用导数 研究 的正负 即可得到函数的单调增区间是 单调递减区间是 根据的单调性 分别求出 的值并比较大小 可得在上的最 大值是 最小值是 本题利用定积
16、分求一个函数的原函数 并研究原函数的单调性和闭区间上的最值 着重考查 了定积分计算公式 利用导数研究函数的单调性与最值等知识 属于中档题 41 已知曲线 及 当时 求上述曲线所围成的图形面积 用定积分表示曲线及所围成的图形面积 并确定 k 取何值 时 使所围图形的面积最小 答案 解 当时 曲线围成的图形的面积为 如图 则 所以当时 S最小为 将代入利用定积分表示出曲线围成图形的面积求出即可 曲线及所围成的图形的面积 就是定积分 求得 利用二次函数的性质可得结果 42 设函数 的导数满足 求的单调区间 在区间上的最大值为20 求 c 的值 若函数的图象与x 轴有三个交点 求c 的范围 答案 解 函数的导数 满足 得 则 由得 得 解得 此时函数单调递增 即递增区间为 由得 得 解得或 此时函数单调递减 即递减区间为 由知 当时 函数取得极小值 则在区间上的最大值为 则 由知当时 函数取得极小值 当时 函数取得极大值 若函数的图象与x 轴有三个交点 则得 得 即 c 的范围是 本题主要考查导数的综合应用 求函数的导数 建立方程或不等式进行求解是解决本题的关 键 考查学生的运算能力 求函数的
