《上海市2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020年复旦附中高三上10月月考一.填空题1.已知“角的终边在第一象限”，“”，则是的_条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分非必要【解析】【分析】根据得出角终边的位置，然后利用充分必要性判断出、之间的关系.【详解】若，则角的终边在第一象限、轴正半轴或第二象限，所以，是的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般利用集合的包含关系进行判断，转化条件如下：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充分必要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必
2、要条件.2.函数的反函数_.【答案】【解析】【分析】由，得出，再由可解出，由此可得出函数的解析式，并标明定义域.【详解】当时，由，得，因此，故答案为：.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.3.记不等式的解集为，函数的定义域为，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】解出集合、，再由可得出实数的取值范围.【详解】解不等式得，则，由，得，则.，所以，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围，同时也涉及了二次不等式的解法和对数函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.4.设为
3、奇函数，则_.【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义，结合对数的运算性质求出的值，然后对的值代入函数解析式进行检验，从而得出实数的值.【详解】函数为奇函数，则，即，即，即，所以，得，.当时，函数的解析式中真数为，不合乎题意；当时，由，解得或，此时，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，则函数为奇函数.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，所得出的答案还应检验，以便舍去不合乎要求的答案，考查计算能力，属于中等题.5.已知，则代数式的最小值为_.【答案】【解析】【分析】将代数式变形为，再利用基本不等式求出该代数式的最小值.【详解】，由基本不等式得，当且
4、仅当时，等号成立，因此，代数式的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，要注意对代数式进行配凑，同时注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.6.已知集合，则集合的子集个数为_.【答案】【解析】【分析】利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.详解】，则集合有个元素，其子集个数为，故答案为：.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知，则 【答案】【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，由得，所以考点：同角间的三角
5、函数关系8.已知正数、满足，且，则_.【答案】或【解析】【分析】由，得出，由得出解出的值，进而得出的值，从而得出的值.【详解】，由得出，由换底公式可得，可得或.当时，此时，则；当时，此时，则.因此， 或，故答案为：或.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9.已知函数的定义域是，则的值域是_.【答案】【解析】【分析】将函数的解析式变形为，然后分和两种情况讨论，利用不等式的性质求出函数的值域.详解】.当时，则，此时；当时，则，此时.因此，函数的值域为，故答案为：.【点睛】本题考查分式型函数
6、值域的求解，一般利用变量分离法结合不等式的性质进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.对于函数，若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数，下列函数：；其中在上是有界函数的序号为_.【答案】【解析】【分析】求出中各函数在上的值域，结合题中的定义进行判断即可.【详解】对于中的函数，当时，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；对于中的函数，当时，又，该函数在上的值域为，所以，存在正实数，当时，对于任意，都有；对于中的函数，当时，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；对于中的函数，取，则，同理，取，所以，函数在上的值域为，所以，不存在正实数
7、，对于任意，使得成立.综上所述：在上是有界函数的序号为，故答案为：.【点睛】本题考查函数新定义“有界函数”的理解，解题的关键就是求出函数的值域，结合定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、依次为，的图像，其中为常数，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是_.【答案】【解析】【分析】设点，其中，可求出点、的坐标，进一步求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式可求出实数的值.【详解】设点，其中，设点、，则，解得，所以，点、，则点的坐标为，将点的坐标代入函数的
8、解析式，得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点的坐标计算出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用题中定义可推出函数为奇函数，可得出函数的图象关于点对称，从而得出函数的图象也关于点对称，由此可得出的值.【详解】，构造函数，则，令，可得，令，则，所以，函数为奇函数，即，所以，得，所以，则函数的图象关于点对称，则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称，因此，故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的对称性求函数最值之和，解题的关键就是利用定义推导出函数的
9、对称中心，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.选择题13.设，为正实数，则“”是“”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】因为，为正实数且，所以，所以；若，即，两边同乘以，得，因为，为正实数，所以，所以。即“”是“”成立的充要条件，故选C.14.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为球的表面积为；故选B15.
10、函数的定义域为1,1，图象如图1所示，函数)的定义域为1,2，图象如图 2 所示，若集合 A，B，则 AB中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：由图可知，当时，由得，即，当时，由得，所以，即，故选C.考点：1.函数的图象；2.复合函数求值；3.集合的表示与运算.16.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.【详解】当时，的最小值是由知当时，的最小值是当时，的最小值是要使，则，解得：或 故选D.【点睛
11、】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.三.解答题17.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将等式两边平方，化为含的二次方程，求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值，再由，利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系可求出的值；（2）由，可得出，利用余弦定理可求出和的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】（1）由题意可知，将等式两边平方得，整理得，由于，解得.，所以，.由同角三角函数的基本关系得.；（2），由余弦定理得，整理得，解得，则，因此，的面积为.【点睛】本题考查同角三角
12、函数利用两角和的正弦公式求值，同时也考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中等题.18.如图，四棱锥中，平面，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量、，然后利用空间向量法计算出异面直线与所成角的余弦值；（2）计算出平面的一个法向量，平面的一个法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意可知，、两两垂直，不妨以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易得，则点、.，.因
13、此，异面直线与所成角的余弦值为；（2）易知点、.易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，得，解得，令，则，所以，平面的一个法向量为，由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角以及二面角，解题的关键就是要建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量法来求解，考查计算能力，属于中等题.19.某水域受到污染，水务部门决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每次投放质量为的药剂后，经过（）天，该药剂在水中释放的浓度（毫克升）为，其中，当药剂在水中释放浓度不低于（毫克升）时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克升）且不高于（毫克升）时称为最
14、佳净化.（1）如果投放的药剂质量为，那么该水域达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为，为了使该水域天（从投放药剂算起，包括第天）之内都达到最佳净化，确定应该投放的药剂质量的值.【答案】（1）天；（2）.【解析】【分析】（1）由，且，可得出药剂在水中释放浓度的函数，因为函数为分段函数，分和解不等式，即可得出水域达到有效净化所持续的天数；（2）求出关于的解析式，分区间讨论该函数的单调性，根据题意，只需函数在区间和上的值域均为的子集，由此列出不等式（组）解出实数的值.【详解】（1），.当时，恒成立；当时，令，解得.所以，不等式的解为，因此，该水域达到有效净化一共可持续天；（2）由题意知，且.当时，为增函数，且，由题意可得，则有，解得；当时，为减函数，且，由题意可得，则，解得.综上所述，.【点睛】本题考查分段函数模型应用，同时也考查了分段函数不等式的求解，解题时要分区间讨论，然后将所得解集合并，考查分析问题与解决问题的
