《南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题 Word版含解析（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合或，再利用集合的运算，即可求解。【详解】由题意，集合或，则，所以，故选B。【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数，即可得到复数的模，得到答案。【详
2、解】由题意，复数，解得，所以，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。3.已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。【详解】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“”可证得“”，即充分性是成立的；反之由“”不一定得到“”，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B。【点睛】本题主要考查了
3、充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面垂直的判定与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。4.公比不为的等比数列中，若，则不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，得到，且，即可求解，得到答案。【详解】由，根据等比数列的性质，可得，且，所以可能值为或或，所以不可能的是6，故选B。【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。5.已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设样
4、本数据的中心为，代入回归直线的方程，求得，进而求得答案。【详解】由题意，设样本数据的中心为，代入回归直线的方程，可得，则，故选B。【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。6.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.【详解】设，因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为，命题：点在区域内；命题：点在区域
5、内. 则下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组，判定出命题为假命题，为真命题，再根据复合命题的真值表，即可得到判定，得到答案。【详解】由二元一次不等式组，可得点不适合不等式，所以点不在不等式组表示的平面区域内，所以命题为假命题，则为真命题，又由点适合不等式组的每个不等式，所以点在不等式组表示的平面区域内，所命题为真命题，由复合命题的真值表可得，命题为真命题，故选C。【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及复合命题的真假判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。8.已知的垂心为，且是的中点，则（ ）A. B.
6、C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为，然后得到，再将和，用来表示，得到答案.【详解】因为为的垂心，所以，而，所以因为是的中点，所以【点睛】本题考查向量的互相表示，向量的数量积，属于简单题.9.圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，根据题意，圆心到的距离的范围为，从而得到关系式，利用得到关系，从而得到离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.【点睛】本题考查圆上的点到直线
7、的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.10.已知正实数满足：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先得到满足 的在，满足的在，再根据与的交点，与的交点，从而得到的大小关系，得到答案.【详解】因为在坐标系里画出与的图像，与的图像可得，再根据与的图像交点得到的位置，根据与的图像交点得到的位置从而得到故，故选B项.【点睛】本题考查通过指数函数与对数函数的图像的交点，判断数值的大小，属于中档题.11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机二进制以为基数，只用和两个数表
8、示数，逢进，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：，请类比二进制与十进制转化的运算，数对应八进制数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将数转化为十进制，然后再把四个选项里的八进制数都化为十进制，得到答案.【详解】数A. B. C. D. 故选C项.【点睛】本题考查二进制化十进制，八进制化十进制，属于中档题.12.函数（为自然对数底数，为常数）有三个不同零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，得到，可得一个零
9、点为，转化为方程有两个解，设，利用导数研究其单调性极值和最值，得到图像，从而得到和有两个交点时的范围，得到答案.【详解】因为，令，得可得一个零点为，所以当时，转化为方程有两个不同的实数解设即的图像与的图像有两个不同交点，当，单调递减，当，单调递增，所以当时，取最小值为且时，所以的范围为，故选A项.【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的单调性、极值、最值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13.的展开式中常数项的系数为_【答案】【解析】【详解】，令，得常数项为240，故答案为240.考点：二项式定理.点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋
10、值法是求展开式的系数和的重要方法14.已知定义在上的偶函数满足，则等于_【答案】【解析】【分析】由满足，利用函数的奇偶性，求得函数是以2为周期的周期函数，进而可求解的值。【详解】由题意，函数满足，即，又由函数是上的偶函数，所以，即，所以函数是以2为周期的周期函数，则。【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定，以及函数的奇偶性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.已知等差数列的前项和为，满足， ，则的值为_【答案】【解析】【分析】将转化为，得到，从而得到公差，根据，得到答案.【详解】设等差数列公差为，由得所以，即所以所以.【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，求等差数量的某一项，属于
11、简单题.16.已知正方体的棱长为，垂直于棱的截面分别与面对角线相交于点，则四棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】，由，可得，所以可得为矩形，然后根据平行所成的比例关系，表示出的长，从而表示出底面积，再表示出到平面的距离，从而表示出四棱锥其体积，然后得到最大值.【详解】由题意平面平面则而，所以所以为矩形，易知设相似比为，所以，所以矩形的面积为而到平面的距离所以四棱锥的体积，令得（舍）故，单调递增，单调递减，所以当时取最大值，为.【点睛】本题考查面面平行的性质，棱锥的体积表示，利用导数求最大值，属于中档题.三解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考
12、题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知锐角的内角的所对边分别为，其中，.（）若，求角；（）求面积的最大值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由，求得，再由正弦定理求得，即可求得角A；（）由余弦定理和基本不等式，求得，再由三角形的面积公式，即可求解。【详解】（）由题意，知，即，故，即，又由正弦定理可得，解得，又因为，所以，所以.（）在中，由余弦定理，得，得，所以，当且仅当时，即三角形为等边三角形时，上式等号成立，所以的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，
13、要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.已知直三棱柱中，是的中点，是上一点，且.（）证明：平面；（）求二面角余弦值的大小.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）在中，由面积相等得到，直角三角形中，得到，由得，易得，从而得到平面.以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面法向量为，面法向量为，从而得到二面角的余弦值.【详解】连接，在中，故.由于三棱柱是直三棱柱，故平面，直角三角形中，因为，所以所以，又因为直角，即.再由为中点并且为等腰三角形可知，结合，得平面，.综合，得到平面.由于，如图以点为坐标原点建
14、立空间直角坐标系，故，,设面法向量为，面法向量为，取，得，取，得，则二面角的余弦值.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，通过法向量求二面角的余弦值，属于中档题.19.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额元）及专业三等奖学金（奖金额元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.（）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；（）若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生年获得的专业奖学金额为随机变量，求随机变量的分布列和期
