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1、白云高级中学2018学年第二学期期中试题高二数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,则,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知函数，则（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求得，进而可求得的值，得到答案【详解】由题意，函数，可得，所以，故答案为【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解
2、能力，属于基础题3.函数的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】求出二次函数的对称轴即得函数的增区间.【详解】由题得，所以函数的增区间为，故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若函数在上是增函数，则的范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用一次函数的单调性求解.【详解】因为函数在上是增函数，所以.故选：C【点睛】本题主要考查一次函数单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.下列函数求导运算正确的个数为( )；A. B. C. D. 【答案】B【解析
3、】【分析】根据，即可作出判断【详解】，故错误；，故正确；，故正确；，故错误；，故错误故选：【点睛】此题考查了求导的运算要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题6.下列四个函数中，在上为增函数是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的图像判断每一个选项得解.【详解】A. ,在上为减函数；B. ，在上不是单调函数；C. ，在上为减函数；D. ，在上为增函数.故选：D【点睛】本题主要考查函数的图像和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】,直线的斜
4、率为-a.所以a=-2, 故选D8.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解.【详解】A. ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误；B. ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误；C. ，所以该函数不是奇函数，故该选项错误；D. ,，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数有极
5、大值和极小值，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意可得： ，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.10.已知，直线与函数，的图象都相切，且与图象的切点为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】，直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为（1），直线的方程为又因为
6、直线与的图象相切，消去，可得，得不合题意，舍去），故选：A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.设集合，若，则_；_.【答案】 (1). 3 (2). 1,2,3【解析】【分析】由求出m的值，再求.【详解】因为，所以m=3.所以.故答案为：3，1,2,3【点睛】本题主要考查集合交集并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.曲线在点处的切线的斜率是_ ；切线方程为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用
7、导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程.【详解】由题得，所以切线的斜率为，所以切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.若函数在，则函数的最小值是 _ ；最大值是_.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】先求出函数的导数，再令得x=2（舍去）或0，再比较端点和极值点的函数值的大小，即得函数的最值.【详解】由题得，令得x=2（舍去）或0，因为，所以函数的最小值是，最大值为0.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.
8、已知函数，则_ ；_.【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由题得，再依次求出.【详解】由题得，所以所以，所以.故答案为：1；2【点睛】本题主要考查求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知在单调递减，则的取值是_.【答案】，.【解析】【分析】由函数在上是减函数，得，求导后分离参数得答案.【详解】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，令，要使，需，故的取值范围为，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是_【答案】2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函
9、数，根据限制性条件，和基本不等式进行解答【详解】因为，所以又因为，所以（b），所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键17.若函数同时满足：(1)对于定义域上的任意，恒有；(2)对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数中：； ； ；，则被称为“理想数”的有_(填相应的序号)【答案】（4）【解析】分析】由“理想函数”的定义可知：若是“理想函数”，则为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇
10、函数；对于定义域上的任意，当时，恒有，时，即函数是单调递减函数故为定义域上的单调递减的奇函数（1）在定义域上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；（2）在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；（3）不是奇函数，所以不是“理想函数”；（4），在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”故答案为：（4）【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.设全集，集合，.(1)求集合；(2)求集合【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)
11、利用补集定义求解；（2）利用交集的定义求解.【详解】（1）由题得.（2）由题得.【点睛】本题主要考查补集交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数满足且在时函数取得极值（1）求，的值；（2）求函数单调递减区间.【答案】(1)a=-3,b=2;（2）(0,2)【解析】【分析】（1）通过（2）及（1），计算即得结论；（2）通过对函数求导，进而可判断单调递减区间.【详解】（1），函数在时函数取得极值，（2），即，又（1），综上、；（2）由（1）可知，时，函数在上单调递减；函数的单调递减区间为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，意在考查学生对这些
12、知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数.（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数在区间 上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1) ;（2）.【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设函数，求得导数，由题意可得在区间上，恒成立，结合指数函数的值域，及恒成立思想可得的范围；【详解】（1）求导得，又因为（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为；（2）设函数，求导，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，又因为函数在区间上单调递减，所以（e），所以.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极
13、值和最值，考查构造函数法，以及转化思想，考查化简整理的运算能力，属于综合题21.已知函数，其中为常数（1）若曲数在点处的切线与直线y=-x+1平行，求函数极小值；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值【答案】(1)ln2；（2）.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由已知可得（1），即，再利用导数求函数的极小值；（2）由（1）知，分类讨论求出函数的单调性，再求出函数最小值即得解.【详解】（1）由，得，函数在点，（1）处的切线与直线y=-x+1平行，（1），即.此时函数的增区间为（2，+），减区间为（0，2），所以函数的极小值为.（2）由（1）知，当时，在，上恒成立，在，上为增函数，得（舍；当时，由，解得，当时，当时，在上为减函数，在上为增函数，解得；当时，在上恒成立，在上为减函数，解得（舍综上，【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题22.已知函数，.(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）-1a1.【解析】【分析】（1）若，根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数的取
