离散傅里叶变换(DFT)PPT幻灯片课件

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1、1 一 DFT的定义设x n 是一个长度为M的有限长序列 则定义x n 的N点离散傅里叶变换为X k 的离散傅里叶逆变换为式中 N称为DFT变换区间长度 7 3离散傅里叶变换 DFT 2 二 DFT和Z变换的关系设序列x n 的长度为N 其Z变换和DFT分别为 比较上面二式可得关系式 3 1 3 式表明序列x n 的N点DFT是x n 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 3 1 4 式则说明X k 为x n 的傅里叶变换X ej 在区间 0 2 上的N点等间隔采样 3 实际上 任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x n 的周期延拓序列 即 为了以后叙述方便 将 3 1 5 式用

2、如下形式表示 三 DFT的隐含周期性 均为整数 有限长序列x n 的离散傅里叶变换X k 正好是x n 的周期延拓序列x n N的离散傅里叶级数系数的主值序列 即 4 图3 1 2有限长序列及其周期延拓 5 7 3离散傅里叶变换 DFT 定义DFT 用类似于例7 9中的方法 可把 7 3 式写成矩阵乘法运算 Xk xn Wnk其中 xn为序列行向量 Wnk是一N N阶方阵 而称为旋转因子 Wnk的MATLAB表示 Wnk WN 0 N 1 0 N 1 6 用矩阵乘法计算N点DFT的程序如下 MATLAB程序q73a m 用矩阵乘法计算N点DFTclear closeallxn input 请输

3、入序列x N length xn n 0 N 1 k n nk n k 生成N N方阵WN exp j 2 pi N 旋转因子Wnk WN nk 产生旋转因子矩阵Xk xn Wnk 计算N点DFT这种方法计算DFT概念清楚 编程简单 但占用内存大 运行速度低 所以不实用 MATLAB基础部分提供了fft ifft fft2 ifft2等等快速计算傅里叶变换的函数 使DFT的运算速度量提高了若干数量级 在后面的例题中均直接调用这些函数 7 例7 15序列的离散傅立叶变换 求复正弦序列余弦序列正弦序列的离散傅立叶变换 分别按N 16和N 8进行计算 绘出幅频特性曲线 进行比较讨论 解 直接产生序列

4、x1n x2n和x3n 调用fft函数求解 8 第七章例7 15程序q715 DFT计算clear closeallN 16 N1 8 产生序列x1 n 计算DFT x1 n n 0 N 1 x1n exp j pi n 8 产生x1 n X1k fft x1n N 计算N点DFT x1 n Xk1 fft x1n N1 计算N1点DFT x1 n 产生序列x2 n 计算DFT x2 n x2n cos pi n 8 X2k fft x2n N 计算N点DFT x2 n Xk2 fft x2n N1 计算N1点DFT x1 n 产生序列x3 n 计算DFT x3 n x3n sin pi n

5、8 X3k fft x3n N 计算N点DFT x3 n Xk3 fft x3n N1 计算N1点DFT x1 n 9 绘图subplot 2 3 1 stem n abs X1k title 16点DFT x1 n xlabel k ylabel X1 k subplot 2 3 2 stem n abs X2k title 16点DFT x2 n xlabel k ylabel X2 k subplot 2 3 3 stem n abs X3k title 16点DFT x3 n xlabel k ylabel X3 k k 0 N1 1 subplot 2 3 4 stem k abs

6、Xk1 title 8点DFT x1 n xlabel k ylabel X1 k subplot 2 3 5 stem k abs Xk2 title 8点DFT x2 n xlabel k ylabel X2 k subplot 2 3 6 stem k abs Xk3 title 8点DFT x3 n xlabel k ylabel X3 k 10 在截取16点时 得到的是完整的余弦波形 而截取8点时 得到的是半截的余弦波形 当然有大量的谐波成分 11 例7 16验证N点DFT的物理意义 1 绘出幅频曲线和相频曲线 2 计算并图示x n 的8点DFT 3 计算并图示x n 的16点DFT

7、 解 序列x n 的 点DFT的物理意义是在 0 2 上进行 点等间隔采样 程序先密集采样 绘制出幅频曲线图 然后再分别做8点和16点DFT来验证这个采样关系 程序略 12 图7 16离散傅里叶变换与傅里叶变换的采样关系 13 频域采样定理 频域采样是指对有限长序列的傅氏变换在频域离散化得到X k 的过程 本节讨论两个基本问题 a 频域采样 DFT 不失真的条件 即由X k 不失真地恢复x n 的条件b 用X k 表示X z 和的插值公式 内插公式 14 图3 3 1时域恢复示意图 结论 若序列长度为L 频域采样点数 DFT的长度 为N 且L N 则频域采样后可不失真地恢复原序列 但若L N

8、则频域采样后不能不失真地恢复原序列 15 例7 17频域与时域采样对偶性 1 产生三角波序列 2 对M 40 计算x n 的64点DFT 并图示x n 和X k DFT x n k 0 1 63 3 对 2 中所得X k 在 0 2 上进行32点抽样得 4 求的32点IDFT 即 5 绘出的波形图 评述它与x n 的关系 16 第七章例7 17程序q717 时域与频域采样的对偶性验证clear closeallM 40 N 64 n 0 M 产生M长三角波序列x n xa 0 floor M 2 xb ceil M 2 1 1 0 xn xa xb Xk fft xn 64 64点FFT x

9、n X1k Xk 1 2 N 隔点抽取Xk得到X1 K x1n ifft X1k N 2 32点IFFT X1 k 得到x1 n nc 0 3 N 2 取97点为观察区xc x1n mod nc N 2 1 x1 n 的周期延拓序列subplot 3 2 1 stem n xn title 40点三角波序列x n xlabel n ylabel x n 17 k 0 N 1 subplot 3 2 3 stem k abs Xk title 64点DFT x n xlabel k ylabel X k k 0 N 2 1 subplot 3 2 4 stem k abs X1k title X

10、 k 的隔点抽取 xlabel k ylabel X1 k n1 0 N 2 1 subplot 3 2 2 stem n1 x1n title 32点IDFT X1 k xlabel n ylabel x1 n subplot 3 1 3 stem nc xc title x1 n 的周期延拓序列 xlabel n ylabel x mod n 32 set gcf color w 18 19 由于频域在 0 2 上的采样点数N N 32 小于x n 的长度M M 40 所以 产生时域混叠现象 不能由X1 k 恢复原序列x n 只有满足N M时 可由频域采样X1 k 得到原序列x n 这就是

11、频域采样定理 对N M的情况 请读者自己编程验证 20 用DFT计算线性卷积 0 k L 1 则由时域循环卷积定理有Y k DFT y n X1 k X2 k 0 k L 1 如果 21 由此可见 循环卷积既可在时域直接计算 也可以按照图3 4 1所示的计算框图 在频域计算 由于DFT有快速算法FFT 当N很大时 在频域计算的速度快得多 因而常用DFT FFT 计算循环卷积 图3 4 1用DFT计算循环卷积 22 在实际应用中 需要计算两个序列的线性卷积 与计算循环卷积一样 为了提高运算速度 也希望用DFT FFT 计算线性卷积 而DFT只能直接用来计算循环卷积 为此导出线卷积和循环卷积之间的

12、关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件 假设h n 和x n 都是有限长序列 长度分别是N和M 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下 3 4 1 3 4 2 23 其中 L max N M 所以 对照式 3 4 1 可以看出 上式中 3 4 3 即 3 4 3 式说明 yc n 等于yl n 以L为周期的周期延拓序列的主值序列 yl n 长度为N M 1 只有当循环卷积长度L N M 1时 yl n 以L为周期进行周期延拓才无混叠现象 24 图3 4 2线性卷积与循环卷积 25 利用DFT进行线性卷积的步骤如下 1 将序列x n 和h n 补零延长 使其长度2 做x n 和h n 的长为L点的D

13、FT得到X k 和H k 求它们的积Y k X k H k 3 求Y k 的IDFT并取前N1点获得线性卷积的结果为 L N1 N M 1 y n IDFT Y k 0 n N1 26 图3 4 3用DFT计算线性卷积框图 27 例7 18快速卷积 快速卷积就是根据DFT的循环卷积性质 将时域卷积转换为频域相乘 最后再进行IDFT得到时域卷积序列y n 其中时域和频域之间的变换均用FFT实现 所以使卷积速度大大提高 框图如下 28 第七章例7 18程序q718 快速卷积计算clear closeallxn input 请输入x n 序列 xn 书上用sin 0 4 1 15 hn input

14、请输入h n 长度 hn 书上用0 9 1 20 M length xn N length hn nx 1 M nh 1 N 循环卷积等于线性卷积的条件 循环卷积区间长度L M N 1L pow2 nextpow2 M N 1 取L为大于等于且最接近 N M 1 的2的正次幂tic 快速卷积计时开始 29 Xk fft xn L L点FFT x n Hk fft hn L L点FFT h n Yk Xk Hk 频域相乘得Y k yn ifft Yk L L点IFFT得到卷积结果y n toc 快速卷积计时结束subplot 2 2 1 stem nx xn ylabel x n subplot

15、 2 2 2 stem nh hn ylabel h n subplot 2 1 2 ny 1 L stem ny real yn ylabel y n tic yn conv xn hn 直接调用函数conv计算卷积与快速卷积比较toc 30 31 4 用DFT进行谱分析的误差问题DFT 实际中用FFT计算 可用来对连续信号和数字信号进行谱分析 1 混叠现象 2 栅栏效应 3 截断效应 根据傅里叶变换的频域卷积定理有 32 幅度谱RN 曲线如图3 4 11所示 RN 以2 为周期 只画低频部分 图中 2 N的部分称为主瓣 其余部分称为旁瓣 例如 x n cos 0n 0 4 其频谱为 其中

16、33 图3 4 11矩形窗函数的幅度谱 34 图3 4 12加矩形窗前后的频谱 泄露谱间干扰 35 例7 19用DFT求连续信号频谱 在计算机上用DFT对模拟信号进行谱分析时 只能以有限大的采样频率fs对模拟信号采样有限点样本序列 等价于截取模拟信号一段进行采样 作DFT变换 得到模拟信号的近似频谱 其误差主要来自以下因素 截断效应 频谱泄露和谱间干扰 频谱混叠失真因素 使谱分辨率 能分辨开的两根谱线间的最小间距 降低 并产生谱间干扰 因素 使折叠频率 fs 2 附近的频谱产生较大失真 36 例7 19用DFT求连续信号频谱 加大截取长度Tp可提高频率分辨率 选择合适的窗函数可降低谱间干扰 而频谱混叠失真要通过提高采样频率fs和 或 预滤波 在采样之前滤除折叠频率以外的频率成分 来改善 编写程序q719 m验证截断效应及加窗的改善作用 先选取以下参数 采样频率fs 400Hz T 1 fs 采样信号序列 对x n 作4096点DFT作为xa t 的近似频谱Xa jf 37 第七章例7 19程序q719 用DFT作谱分析clear closeallfs 400 T 1 fs 采样频率为4