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1、第二章函数概念与基本初等函数经典例题导讲例1设Ma，b，c，N2,0,2,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足 (a)(b)f(c),试确定这样的映射的种数.解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个例2已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域解：由于函数的定义域为0，1，即满足，的定义域是1，0例3已知：，求.解： ，7-52 例4求函数，的值域.解：配方，得，对称轴是当时，函数取最小值为2，的值域是 例5根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数
2、的类型，可采用待定系数法求解设由于得，又由，即因此：(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设（）（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.例6 已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 得 当时，取最大值，最大值为这
3、种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.例7设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以解法二：令，得即又将用代换到上式中得2.2函数的性质经典例题导讲例1判断函数的单调性.解：令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，是增函数例2判断函数的奇偶性.解：有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数例3 判断的奇偶性.解
4、：方法一：是奇函数方法二：是奇函数例4函数y=的单调增区间是_.解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是例5 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值围.解：由,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,例6 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x2时
5、，即x-20时，当x2时，即x-20时，所以这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x1时，lgx0，y=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.例7若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值围解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 例8 已知函数f(x)在(1，1)上
6、有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0, 且
7、a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0, a,当x(, 1时, y=与y=都是减函数， y=在(, 1上是增函数，max=, a, 故a的取值围是(, +).例7若，试求的取值围.解：幂函数有两个单调区间，根据和的正、负情况，有以下关系解三个不等式组：得，无解，1的取值围是（，1）（，）点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.例8 已知a0 且a1 ,f (log a x ) = (x ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x (1 , 1)时 , 有f( 1m ) +f (1 m2 )
8、 0即0.综合得（2）依题意知，又 例7 已知函数，且方程有实根. (1)求证：-3c-1,b0. (2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的围即可定出符号.(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，1解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或，由，得0.（2）=，cm1（如图）c4m43c.的符号为正.2.5函数的综合运用经典例题导讲例1 不等式 解 例2将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售0件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.解：设每件售价提高x元，利润为y元，则y=故当，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.例3某工厂改进了设备，在两年生产的月增长率都是m，则这两年第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？解：设第一年三月份的产值为a，则第四个月的产值为a(1+m
