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1、北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则集合是( )ABCD【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合.【详解】集合，则，因此，.故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2抛物线的焦点坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得： ，即焦点坐标为 .本题选择B选项.3下列直线与圆相切的是（ ）ABCD【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.【详解】由于选项中各直线均过原点，
2、且原点在圆上，圆心坐标为，圆心与原点连线的斜率为，所以，圆在原点处的切线方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.4已知、，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，取，则成立，但，A选项错误；对于B选项，取，则成立，但，即，B选项错误；对于C选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C选项正确；对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.5在的展开式中，的系数为（ ）AB
3、CD【答案】A【解析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可计算出的系数.【详解】的展开式通项为，令，得.因此，的系数为.故选：A.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.6已知平面向量、满足，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由等式得，等式两边平方可求出的值.【详解】由可得，等式两边平方得，即，因此，.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.7已知、是三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C
4、充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.【详解】如下图所示，将平面、视为三棱柱的三个侧面，设，将、视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“”“”；另一方面，若，且，由面面平行的性质定理可得出.所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用余弦定理计算出，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误
5、进行判断.【详解】如下图所示：点在边上，且，由余弦定理得，整理得，解得，则，由正弦定理得，所以，.由余弦定理得，同理可得，则.故选：C.【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A倍B倍C倍D倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，根据题意得出，计算出和的值，可计算出的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话
6、时声音强度分别为、，由题意可得，解得，解得，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，故选：B.【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.10若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：线段长度的取值范围是；存在点使得平面；存在点使得.其中，所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题的正误.【详解】取的中点，过点在
7、平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.在正方体中，平面，平面，又，平面，即，同理可证，则，.以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，.对于命题，则，则，所以，命题正确；对于命题，则平面的一个法向量为，令，解得，所以，存在点使得平面，命题正确；对于命题，令，整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题11在等差数列中,若,则 .【答案】【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由已知得，所以，所以【考点
8、】等差数列的通项公式.12若复数，则_.【答案】【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13已知点，点、分别为双曲线的左、右顶点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】根据为等边三角形求出的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率.【详解】由于为正三角形，则，得.所以，双曲线的半焦距为，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于
9、基础题.14已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.【详解】，.当时，对任意的，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；当时，令，可得，当时，当时，此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.15用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则_，_.【答案】 【解析】根据表格中的数据求出、的值，可得出
10、函数的解析式，然后代值计算可得出和的值.【详解】由表格中的数据可知，函数的最小正周期为，当时，则，解得，则，.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16已知曲线（为常数）.（i）给出下列结论：曲线为中心对称图形；曲线为轴对称图形；当时，若点在曲线上，则或.其中，所有正确结论的序号是_.（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_.（写出一个即可）【答案】 均可 【解析】（i）在曲线上任取一点，将点、代入曲线的方程，可判断出命题的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题的正误；（ii）根据时，配方得
11、出，可知此时曲线为圆，且圆的面积为，从而得知当时，曲线所表示的图形面积小于.【详解】（i）在曲线上任取一点，则，将点代入曲线的方程可得，同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，命题正确.当时，反设且，则，所以，则，所以，这与矛盾.假设不成立，所以，或，命题正确；（ii）当时，曲线的方程为，即，即，此时，曲线表示半径为的圆，其面积为.当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积.故答案为：；均可.【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题17已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）若在区
12、间上的最大值为，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】（）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间；（）由，结合题意得出，即可求出实数的最小值.【详解】（），因为的单调递增区间为， 令，得. 所以函数的单调递增区间为；（）因为，所以.又因为，的最大值为，所以，解得，所以的最小值为.【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.18如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，、分别为、的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦
13、值.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）.【解析】（）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；（）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以. 又因为平面，平面，所以平面；（）在等腰直角三角形中，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.又因为平面，所以；（）在平面内过点作垂直于，由（）知，平面，因为平面，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系. 则，.，.设平面的法向量为，则，即.令则，所以.直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19某市城市总体规划（年）提出到年实现“分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为）、良好小区（指数为）、中等小区（指数为）以及待改进小区（指数为）个
