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1、1 第九章扭转 工程力学 1 2 第九章扭转 9 1引言 9 2动力传递与扭矩 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 9 4圆轴扭转横截面上的应力 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 9 7圆轴扭转变形与刚度条件 9 8非圆截面轴扭转简介 2 3 工程实例 对称扳手拧紧镙帽 9 1扭转的概念和实例 3 4 工程实例 9 1扭转的概念和实例 4 5 扭转 以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式 扭力偶 使杆产生扭转变形的外力偶 其矩为扭力偶矩 轴 凡是以扭转为主要变形的直杆 9 1扭转的概念和实例 5 6 构件特征 等圆截面直杆 圆轴 受力特征 外力偶矩的作用面与杆件
2、的轴线相垂直 两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 称为扭转角 变形特征 纵向线倾斜一个角度 称为剪切角 或称切应变 9 1扭转的概念和实例 6 7 一 功率 转速与扭力偶矩之间的关系 n 转速 转 分 rpm 其中 角速度 1 s P 功率 W 9 2动力传递与扭矩 9 2动力传递与扭矩 7 8 9 2外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图 功率 角速度与外力偶矩的关系 一 功率 转速与扭力偶矩之间的关系 9 2动力传递与扭矩 8 9 功率 转速与外力偶矩的关系 其中 P 功率 千瓦 kW 其中 P 功率 马力 PS 1PS 735 5W 1kW 1 36PS n 转速 转 分 rpm 一 功率 转速与
3、扭力偶矩之间的关系 9 2动力传递与扭矩 9 已知 n 1450r min P 10KN求轴AB上的扭矩 全部标准单位 P KW 例题P170 10 11 3扭矩的符号规定 T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正 反之为负 二 扭矩及扭矩图1扭矩 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 2截面法求扭矩 9 2动力传递与扭矩 11 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正 反之为负 9 2动力传递与扭矩 12 13 4扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目地 扭矩变化规律 9 2动力传递与扭矩 13 14 例9 1 已知 一传动轴 n 500r min 主
4、动轮B输入PB 10kW 从动轮A C输出PA 4kW PC 6kW 求轴的扭矩 试绘制扭矩图 解 外力偶矩 9 2动力传递与扭矩 14 15 例9 1 已知 一传动轴 n 500r min 主动轮B输入PB 10kW 从动轮A C输出PA 4kW PC 6kW 求轴的扭矩 试绘制扭矩图 解 计算扭矩 9 2动力传递与扭矩 15 16 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 一 薄壁圆管的扭转应力 1 实验前 绘纵向线 绘圆周线 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 16 17 2 实验后 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网
5、格均倾斜成同样大小的平行四边形 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 17 18 横截面和纵截面上无正应力 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 沿圆周大小不变 而且由于管壁很薄 沿壁厚也可视为均匀分布 方向与该截面的扭矩方向相同 3 推论 单元体图 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 18 19 薄壁圆筒扭转时切应力 大小 R0 宽 长 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 19 20 二 纯剪切与切应力互等定理 1 纯剪切 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 2 切应力互等定理 单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对出现 且数值相等 两
6、者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 20 21 22 三 剪切虎克定律 与 的关系 M与 的关系 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 22 23 T M 剪切虎克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时 p 切应力与切应变成正比关系 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 23 24 式中 G为剪切弹性模量 不同材料的G值可通过实验确定 钢材的G值约为80GPa 剪切弹性模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导见后面章节 在三个弹性常数中 只要知道任意两个 第三个量就可以推算出
7、来 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 24 25 实验 变形几何方面 物理关系方面 静力学方面 假设 应力公式 研究方法 强度条件 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 25 26 等直圆杆扭转实验观察 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 一 扭转切应力的一般公式 26 27 1 圆周线变形后其形状 大小 间距保持不变 2 轴向无伸缩 3 纵向线变成斜直线 但仍为平行线 平面假设 横截面变形后仍为形状 大小 间距不变的平面 只是绕轴线发生了相对转动 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 27 28 一 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 取楔形体O1O2ABCD为
8、研究对象 微段扭转变形dj 28 29 一 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 扭转角沿长度方向变化率 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 29 30 2 物理关系 虎克定律 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 30 31 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 31 32 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式 4 公式讨论 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆受扭 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 32 33 单位 mm4 m4 尽
9、管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是Ip值不同 D d O 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 33 34 Wp 抗扭截面系数 抗扭截面模量 几何量 单位 mm3或m3 二 最大扭转切应力 9 4圆轴扭转时横截面上的应力 34 35 36 第九章扭转 9 1引言 9 2动力传递与扭矩 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 9 4圆轴扭转横截面上的应力 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 9 7圆轴扭转变形与刚度条件 9 8非圆截面轴扭转简介 36 一 实心圆截面 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 极惯性矩 抗扭截面系数 37 38 二
10、 空心圆截面 极惯性矩 抗扭截面系数 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 38 注意 对于空心圆截面 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 一 实心圆截面 二 空心圆截面 39 40 三 薄壁圆截面 极惯性矩 抗扭截面系数 可用平均半径R0代替 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 40 例题9 2AB段为实心 直径d 20mmBC段空心 内外径di 15 do 25mm承受的扭矩分别为MA MB 100N m MC 200N m 求最大扭转切应力 解 1 求转矩 2 求最大扭转切应力 T1 MA 100N m T2 MC 200N m 实心圆截面 空心圆截面 小结 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 42 43 一 扭
11、转失效与扭转极限应力 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 扭转屈服应力 试样扭转屈服时横截面上的最大切应力 扭转强度极限 试样扭转断裂时横截面上的最大切应力 扭转屈服应力和扭转强度极限统称为扭转极限应力 用 u表示 43 44 二 轴的强度条件 强度条件 对于等截面圆轴 称为许用切应力 强度计算 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 44 45 应力分布 T t max t max t max T 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 45 三 圆轴合理截面与减缓应力集中 强度条件 9
12、6圆轴扭转破坏与强度条件 46 三 圆轴合理截面与减缓应力集中 强度条件 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 47 T1 150NmT2 100Nm 解 例题9 3 已知 MA 150Nm MB 50Nm MC 100Nm 90MPa校验轴的强度 都小于 90MPa 满足强度条件 解 例题9 4 某传动轴 T 1500Nm 50MPa按照空心 实心两种方案确定横截面尺寸 a 0 9 并比较重量 1 实心 2 空心 横截面 空心 实心 之比 0 395 3 质量比 材料相同质量比等于体积比长度相同 因此等于横截面之比 50 9 7圆轴扭转时的变形 刚度条件 一 扭转时的变形 由公式9 7 已知 长为l
13、一段杆两截面间相对扭转角 为 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的抗扭刚度 T为常数 9 7圆轴扭转时的变形 刚度条件 50 51 二 刚度条件 或 或 j 称为许用单位长度扭转角 一般记做 单位长度扭转角 扭转角的变化率 因此 9 7圆轴扭转时的变形 刚度条件 51 52 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 9 7圆轴扭转时的变形 刚度条件 52 解 例题9 5 已知 MA 180Nm MB 320Nm MC 140Nm Ip 3 0 105mm4 l 2m G 80GPa 0 5oC m 求总扭转角 T1 180NmT2 140nm 总扭转角 解 例题9 6
14、GIp已知 求两端的支反力偶矩 T1 MAT2 MB 总扭转角 属于超静定问题 Maa MBb 0 55 9 8矩形截面杆扭转理论简介 矩形截面等直杆 平面假设不成立 即各截面发生翘曲不保持平面 等直圆杆扭转时的应力 变形公式不适用 弹性力学方法求解 9 8矩形截面杆扭转理论简介 55 56 9 8矩形截面杆扭转理论简介 56 57 P187表9 1可查 矩形杆横截面上的切应力 单位长度的扭转角 最大切应力 9 8矩形截面杆扭转理论简介 57 58 例 一矩形截面等直钢杆 其横截面尺寸为 h 100mm b 50mm 长度L 2m 杆的两端受扭转力偶T 4000N m的作用 钢的G 80GPa
15、 100MPa j 1 m 试校核此杆的强度和刚度 解 查表求 校核强度 9 8矩形截面杆扭转理论简介 58 59 校核刚度 综上 此杆满足强度和刚度要求 9 8矩形截面杆扭转理论简介 59 60 本章作业 9 2 d 9 8 60 61 例1 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 计算外力偶矩 9 2动力传递与扭矩 61 62 求扭矩 扭矩按正方向设 9 2动力传递与扭矩 62 63 BC段为危险截面 绘制扭矩图 kNm 9 2动力传递与扭矩 63 64 6kNm B A C D E
16、 例2 绘制扭矩图 9 2动力传递与扭矩 64 65 例1 已知 d 50mm M 1kNm G 82GPa A d 4 求 A A max 解 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 65 66 例2 功率为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图 许用切应力 30MPa 试校核其强度 T M 解 求扭矩 作扭矩图 计算并校核切应力强度 此轴满足强度要求 x 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 66 67 例3 已知 n 100r min P 10马力 20MPa 试选择实心轴直径d和内外径比值为1 2的空心轴外径d2 解 d2d1 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 67 68 例4 已知 钢质实心轴和铝质空心轴 内外径比 0 6 横截面面积相同 钢 80MPa 铝 50MPa 若仅从强度考虑 哪一根轴能承受较大的扭矩 解 钢质轴直径为d 铝质轴外径为D 由两轴横截面面积相同得 钢质轴承受的扭矩 铝质轴承受的扭矩 所以 铝质轴承受的扭矩较大 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 68 69 例1 长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用
