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1、3 1两角和与差的正弦 余弦和正切公式 3 1 1两角差的余弦公式 第三章三角恒等变换 问题提出 1 在三角函数中 我们学习了哪些基本的三角函数公式 2 对于30 45 60 等特殊角的三角函数值可以直接写出 利用诱导公式还可进一步求出150 210 315 等角的三角函数值 我们希望再引进一些公式 能够求更多的非特殊角的三角函数值 同时也为三角恒等变换提供理论依据 3 若已知 的三角函数值 那么cos 的值是否确定 它与 的三角函数值有什么关系 这是我们需要探索的问题 两角差的余弦公式 探究 一 两角差的余弦公式 思考1 设 为两个任意角 你能判断cos cos cos 恒成立吗 cos 3
2、0 30 cos30 cos30 思考2 我们设想cos 的值与 的三角函数值有一定关系 观察下表中的数据 你有什么发现 思考3 一般地 你猜想cos 等于什么 cos cos cos sin sin 思考4 如图 设 为锐角 且 角 的终边与单位圆的交点为P1 P1OP 那么cos 表示哪条线段长 cos OM 思考5 如何用线段分别表示sin 和cos sin cos 思考6 cos cos OAcos 它表示哪条线段长 sin sin PAsin 它表示哪条线段长 sin sin cos cos 思考7 利用OM OB BM OB CP可得什么结论 cos cos cos sin sin
3、 x y P P1 M B O A C 1 1 思考8 上述推理能说明对任意角 都有cos cos cos sin sin 成立吗 思考9 根据cos cos sin sin 的结构特征 你能联想到一个相关计算原理吗 思考10 如图 设角 的终边与单位圆的交点分别为A B 则向量 的坐标分别是什么 其数量积是什么 cos sin cos sin 思考11 向量与的夹角 与 有什么关系 根据数量积定义 等于什么 由此可得什么结论 2k 或 2k cos cos cos sin sin 思考12 公式cos cos cos sin sin 称为差角的余弦公式 记作 该公式有什么特点 如何记忆 探究
4、 二 两角差的余弦公式的变通 思考1 若已知 和 的三角函数值 如何求cos 的值 cos cos cos cos sin sin 思考2 利用 可得cos 等于什么 cos cos cos cos sin sin 思考3 若cos cos a sin sin b 则cos 等于什么 思考4 若cos cos a sin sin b 则cos 等于什么 小结作业 1 在差角的余弦公式的形成过程中 蕴涵着丰富的数学思想 方法和技巧 如数形结合 化归转换 归纳 猜想 构造 换元 向量等 我们要深刻理解和领会 2 已知一个角的正弦 或余弦 值 求该角的余弦 或正弦 值时 要注意该角所在的象限 从而确定该角的三角函数值符号 3 在差角的余弦公式中 既可以是单角 也可以是复角 运用时要注意角的变换 如 2 等 同时 公式的应用具有灵活性 解题时要注意正向 逆向和变式形式的选择
