《【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)：第3章_函数的应用_§31_二分法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)：第3章_函数的应用_§31_二分法.doc（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、31.2用二分法求方程的近似解 学习目标理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解 自学导引1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度)(1)确定区间a，b，使f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b)的中点，x1.(3)计算f(x1)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；若f(a
2、)f(x1)0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1(此时零点x0(x1，b)(4)继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度. 一、能用二分法求零点的条件例1下列函数中能用二分法求零点的是()答案C解析在A中，函数无零点在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，C中的函数能用二
3、分法求其零点，故选C.点评判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()答案B 二、求函数的零点例2判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间1,1.5内有无零点，可用根的存在性定理判断；精确度0.1.解答本题在判断出在1,1.5内有零点后可用二分法求解解因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，
4、所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值变式迁移2求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度0.1)解由于f(1)60，可取区间(1,2)作
5、为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值 三、二分法的综合运用例3证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)分析由题目可获取以下主要信息：证明方程在1,2内有唯一实数解；求出方程的解解答本题可借助函数f(x)2x3x6的单调性
6、及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4450，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.18
7、7 5|0.062 50.1，1.187 5可以作为这个方程的实数解点评用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解变式迁移3求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)解设x，则x320.令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)10，故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,1.3751.312 50.261 01.25,1.31
8、2 51.281 250.103 31.25,1.281 251.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 812 50.011.257 812 5,1.265 6251.261 718 750.008 6由于|1.265 6251.257 812 5|0.007 810.01，所以函数f(x)零点的近似值是1.26，即的近似值是1.26.1能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用2二分法实质是一种逼近思想的应用区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度为，
9、是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab|为止一、选择题1下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)2x3 Bf(x)lnx2x6Cf(x)x22x1 Df(x)2x1答案C解析因为f(x)(x1)20，即含有零点的区间a，b，不满足f(a)f(b)0.2设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1，2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能确定答案B解析1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)0，方
10、程的根x0(1,1.5)，又1.25是(1,1.5)的中点且f(1.5)0，f(1.25)0，x0(1.25,1.5)3函数f(x)x25的正零点的近似值(精确到0.1)是()A2.0 B2.1 C2.2 D2.3答案C4方程2x1x5的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C5用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)，f(0.25) B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.25) D(0,0.5)，f(0.125)答案A解析f(0)0
11、，f(0)f(0.5)0，故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为ff(0.25)二、填空题6在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一个近似解为_(精确度为0.1)答案0.75或0.687 5解析因为|0.750.687 5|0.062 50.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解7用二分法求方程x250在区间(2,3)的近似解经过_次二分后精确度能达到0.01.答案7解析区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为0.01.8用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间an，b
12、n (nN)上，当|anbn|m时，函数的零点近似值x0与真实零点a的误差最大不超过_答案解析假设a，因为|x0a|.三、解答题9求函数f(x)x3x22x2的一个正实数零点(精确度为0.1)解由于f(1)20，所以函数在(1,2)内存在零点取(1,2)的中点1.5，经计算f(1.5)0.6250，故函数在(1.5,2)内存在零点，如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间.(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25) 0f(1.25)0f(1.375) 0f(1.375) 0)(1.375，1.437 5)1.3751.437 5|0.062 50.1所以原函数的一个正实数零点的近似解可取为1.437 5.10利用计算器，求方程lgx2x的近似解(精确度为0.1)解作出y=lgx，y=2-x的图象，可以发现，方程lgx=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)=lgx+x-2，用计算器计算得f(1)0x(1,2)；f(1.5)0x(1.5,2)；f(1.75)0x(1.
