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1、因子分析 1 一 前言 变量的相关性公共因子 将多个实测变量转换成少数几个不相关的综合指数 2 二 因子分析模型 一般地 设X x1 x2 xp 为可观测的随机变量 且有f f1 f2 fm 为公共 共性 因子 commonfactor 简称因子 factor 3 e e1 e2 ep 为特殊因子 specificfactor f和e均为不可直接观测的随机变量 1 2 p 为总体x的均值A aij p m为因子负荷 载荷 factorloading 矩阵 4 通常先对x作标准化处理 使其均值为零 方差为 这样就有假定 fi的均数为 方差为 ei的均数为 方差为 i fi与ei相互独立 则称x为
2、具有m个公共因子的因子模型 5 如果再满足 fi与fj相互独立 i j 则称该因子模型为正交因子模型 正交因子模型具有如下特性 x的方差可表示为设 6 hi2是m个公共因子对第i个变量的贡献 称为第i个共同度 communality 或共性方差 公因子方差 commonvariance i称为特殊方差 specificvariance 是不能由公共因子解释的部分 7 因子载荷 负荷 aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数 设称gj2为公共因子fj对x的 贡献 是衡量公共因子fj重要性的一个指标 8 三 因子分析的步骤 输入原始数据xn p 计算样本均值和方差 进行标准化计算 处理 求样本
3、相关系数矩阵R rij p p 求相关系数矩阵的特征根 i 1 2 p 0 和相应的标准正交的特征向量li 9 确定公共因子数 计算公共因子的共性方差hi2 对载荷矩阵进行旋转 以求能更好地解释公共因子 对公共因子作出专业性的解释 10 四 因子分析提取因子的方法 主成分法 principalcomponentfactor 11 每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根 即该公共因子的方差 12 极大似然法 maximumlikelihoodfactor 假定原变量服从正态分布 公共因子和特殊因子也服从正态分布 构造因子负荷和特殊方差的似然函数 求其极大 得到唯一解 13 主因子法 p
4、rincipalfactor 设原变量的相关矩阵为R rij 其逆矩阵为R 1 rij 各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数 i 1 rii 则共同度的初始值为 hi 2 1 i 1 1 rii 14 以 hi 2代替相关矩阵中的对角线上的元素 得到约化相关矩阵 h1 2r12 r1pr21 h2 2 r2pR rp1rp2 hp 2R 的前m个特征根及其对应的单位化特征向量就是主因子解 15 迭代主因子法 iteratedprincipalfactor 主因子的解很不稳定 因此 常以估计的共同度为初始值 构造新的约化矩阵 再计算其特征根及其特征向量 并由此再估计因子负荷及其各
5、变量的共同度和特殊方差 再由此新估计的共同度为初始值继续迭代 直到解稳定为止 16 Heywood现象残差矩阵 17 五 因子旋转 目的 使因子负荷两极分化 要么接近于0 要么接近于1 常用的旋转方法 18 1 方差最大正交旋转 varimaxorthogonalrotation 基本思想 使公共因子的相对负荷 lij hi2 的方差之和最大 且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变 可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小 因此可以简化对因子的解释 19 2 斜交旋转 obliquerotation 因子斜交旋转后 各因子负荷发生了较大变化 出现了两极分化 各因子间不再相互独立 而彼此相关
6、 各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变 适用于大数据集的因子分析 20 六 因子得分 Thomson法 即回归法回归法得分是由Bayes思想导出的 得到的因子得分是有偏的 但计算结果误差较小 21 Bartlett法Bartlett因子得分是极大似然估计 也是加权最小二乘回归 得到的因子得分是无偏的 但计算结果误差较大 因子得分可用于模型诊断 也可用作进一步分析的原始资料 22 七 因子分析应用实例 23 八 因子分析应用的注意事项 应用条件 1 变量是计量的 能用线性相关系数 Pearson积叉相关系数 表示 2 总体的同质性 24 样本量没有估计公式 至少要保证样本相关系数稳定可靠 因子数目一般认为 累积贡献要达到80 以上 但要注意Heywood现象 25 谢谢 26
