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1、 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019 年 1 2019 全国 II 理 8 若抛物线 y2 2px p 0 的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点 则 p A 2 B 3 C 4 D 8 2 2019 北京理 18 1 已知抛物线 2 2C xpy 经过点 2 1 求抛物线 C 的方程及其准 线方程 3 2019 全国 I 理 19 已知抛物线 C y2 3x 的焦点为 F 斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A B 与 x 轴的交点为 P 1 若4AFBF 求 l 的方程 2 若3APPB uu u ruur 求AB 4 2019 全国 III 理 21 已
2、知曲线 C y 2 2 x D 为直线 y 1 2 上的动点 过 D 作 C 的两 条切线 切点分别为 A B 1 证明 直线 AB 过定点 2 若以 E 0 5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切 且切点为线段 AB 的中点 求四边形 ADBE 的面积 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 设抛物线C 2 4 yx的焦点为F 过点 2 0 且斜率为 2 3 的直线与C 交于M N两点 则 FM FN A 5 B 6 C 7 D 8 2 2017 新课标 已知F为抛物线C 2 4yx 的焦点 过F作两条互相垂直的直线 1 l 2 l 直线 1 l与C交于A B两点 直线 2
3、l与C交于D E两点 则 ABDE 的最 小值为 A 16 B 14 C 12 D 10 3 2016 年四川 设O为坐标原点 P是以F为焦点的抛物线 2 2 0 ypx p 上任意一点 M是线段PF上的点 且PM 2MF 则直线OM的斜率的最大值为 A 3 3 B 2 3 C 2 2 D 1 4 2016 年全国 I 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A B两点 交C的准线于D E 两点 已知 AB 4 2 DE 2 5 则C的焦点到准线的距离为 A 2 B 4 C 6 D 8 5 2015 浙江 如图 设抛物线 2 4yx 的焦点为F 不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A B C 其中点
4、A B在抛物线上 点C在y轴上 则BCF 与ACF 的面积之比是 A 1 1 BF AF B 2 2 1 1 BF AF C 1 1 BF AF D 2 2 1 1 BF AF 6 2015 四川 设直线l与抛物线 2 4yx 相交于 A B两点 与圆 2 22 50 xyrr 相切于点M 且M为线段AB的中点 若这样的直线l恰有 4 条 则r的取值范围是 A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 2 4 7 2014 新课标 1 已知抛物线C 2 8yx 的焦点为F 准线为l P是l上一点 Q是 直线PF与C的一个焦点 若4FPFQ 则 QF A 7 2 B 5 2 C 3 D 2 8 201
5、4 新课标 2 设F为抛物线 C 2 3yx 的焦点 过F且倾斜角为 30 的直线交C于 A B两点 O 为坐标原点 则 OAB的面积为 A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 9 2014 辽宁 已知点 2 3 A 在抛物线 C 2 2ypx 的准线上 过点 A 的直线与 C 在第 一象限相切于点 B 记 C 的焦点为 F 则直线 BF 的斜率为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 3 10 2013 新课标 1 O为坐标原点 F为抛物线 2 4 2C yx 的焦点 P为C上一点 若 4 2PF 则POF 的面积为 A 2 B 2 2 C 2 3 D 4 11 2
6、013 江西 已知点 2 0A 抛物线 2 4C xy 的焦点为F 射线FA与抛物线C相 交于点M 与其准线相交于点N 则 FMMN A 2 5 B 1 2 C 1 5 D 1 3 12 2012 新课标 等轴双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 C与抛物线xy16 2 的 准线交于A B两点 34 AB 则C的实轴长为 A 2 B 22 C 4 D 8 13 2012 山东 已知双曲线 1 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的离心率为 2 若抛物线 2 2 2 0 Cxpy p 的焦点到双曲线 1 C的渐近线的距离为2 则抛物线 2 C的方程为 A 2 8 3 3 xy B 2 1
7、6 3 3 xy C 2 8xy D 2 16xy 14 2011 新课标 已知直线l过抛物线C的焦点 且与C的对称轴垂直 l与C交于A B两点 12AB P为C的准线上一点 则ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 二 填空题 15 2018 全国卷 已知点 1 1 M 和抛物线C 2 4yx 过C的焦点且斜率为k的直 线与C交于A B两点 若90AMB 则k 16 2017 新课标 已知F是抛物线C 2 8yx 的焦点 M是C上一点 FM的延长 线交y轴于点N 若M为FN的中点 则 FN 17 2015 陕西 若抛物线 2 2 0 ypx p 的准线经过双曲线 22 1x
8、y 的一个焦点 则 p 18 2014 湖南 如图 4 正方形ABCDDEFG和正方形的边长分别为 a b ab 原点 O为AD的中点 抛物线 2 2 0 ypx p 经过 b C F a 两点 则 19 2013 北京 若抛物线 2 2ypx 的焦点坐标为 1 0 则p 准线方程为 20 2012 陕西 右图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2 米 水面宽 4 米 水 位下降 1 米后 水面宽 米 21 2010 浙江 设抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 0 2 A 若线段FA的中点B 在抛物线上 则B到该抛物线准线的距离为 三 解答题 22 2018 北京 已知抛物线
9、C 2 2ypx 经过点 1 2 P 过点 0 1 Q的直线l与抛物线 C 有两个不同的交点A B 且直线PA交y轴于M 直线PB交y轴于N 1 求直线l的斜率的取值范围 2 设O为原点 QMQO QNQO 求证 11 为定值 23 2018 全国卷 设抛物线 2 4 Cyx的焦点为F 过F且斜率为 0 k k的直线l 与C交于A B两点 8 AB 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 24 2018 浙江 如图 已知点P是y轴左侧 不含y轴 一点 抛物线C 2 4yx 上存在 不同的两点A B满足PA PB的中点均在C上 PM B A O y x 1 设AB中点为M 证
10、明 PM垂直于y轴 2 若P是半椭圆 2 2 1 4 y x 0 x 上的动点 求PAB 面积的取值范围 25 2017 新课标 已知抛物线C 2 2yx 过点 2 0 的直线l交C与A B两点 圆M是以线段AB为直径的圆 1 证明 坐标原点O在圆M上 2 设圆M过点 4 2 P 求直线l与圆M的方程 26 2017 浙江 如图 已知抛物线 2 xy 点 1 1 2 4 A 3 9 2 4 B 抛物线上的点 P x y 13 22 x 过点B作直线AP的垂线 垂足为Q y x Q A B P O 求直线AP斜率的取值范围 求 PAPQ 的最大值 27 2017 北京 已知抛物线C 2 2ypx
11、 过点 1 1 P 过点 1 0 2 作直线l与抛物线C 交 于不同的两点M N 过点M作x轴的垂线分别与直线OP ON交于点A B 其中O为原点 求抛物线C的方程 并求其焦点坐标和准线方程 求证 A为线段BM的中点 28 2016 年全国 III 已知抛物线 C 2 2yx 的焦点为 F 平行于 x 轴的两条直线 1 l 2 l分 别交 C 于 A B 两点 交 C 的准线于 P Q 两点 若 F 在线段 AB 上 R 是 PQ 的中点 证明 AR FQ 若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍 求 AB 中点的轨迹方程 29 2015 新课标 1 在直角坐标系xoy中 曲线C 2 4 x
12、 y 与直线ykxa 0 a 交 与M N两点 当0k 时 分别求C在点M和N处的切线方程 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有OPMOPN 说明理由 30 2014 山东 已知抛物线 0 2 2 ppxyC 的焦点为F A为C上异于原点的任意 一点 过点A的直线l交C于另一点B 交x轴的正半轴于点D 且有FAFD 当点A的横坐标为 3 时 ADF 为正三角形 求C的方程 若直线ll 1 且 1 l和C有且只有一个公共点E 证明直线AE过定点 并求出定点坐标 ABE 的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说 明理由 31 2014 陕西 如图 曲线C由上半椭圆 22 1
13、22 1 0 0 yx Caby ab 和部分抛物 线 2 2 1 0 Cyxy 连接而成 12 C C的公共点为 A B 其中 1 C的离心率为 3 2 求 a b的值 过点B的直线l与 12 C C分别交于 P Q 均异于点 A B 若APAQ 求 直线l的方程 32 2013 广东 已知抛物线C的顶点为原点 其焦点 0 0Fcc 到直线 20l xy 的距离为 3 2 2 设P为直线l上的点 过点P作抛物线C的两条切线 PA PB 其中 A B为切点 求抛物线C的方程 当点 00 P xy为直线l上的定点时 求直线AB的方程 当点P在直线l上移动时 求AFBF 的最小值 33 2012
14、新课标 设抛物线C 0 2 2 ppyx的焦点为F 准线为l A为C上一点 已知以F为圆心 FA为半径的圆F交l于B D点 若 o BFD90 ABD 的面积为24 求p的值及圆F的方程 若A B F三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与C只有一个公共 点 求坐标原点到m n距离的比值 34 2011 新课标 在平面直角坐标系xoy中 已知点 0 1 A B点在直线3y 上 M点满足 MBOA MA ABMB BA M点的轨迹为曲线 C 求 C 的方程 P为 C 上动点 l为 C 在点P处的切线 求O点到l距离的最小值 专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 答案部分 2019 年 1 D
15、解析解析 由题意可得 2 3 2 p pp 解得8p 故选 D 2 解析解析 I 由抛物线 2 2C xpy 经过点 2 1 得2p 所以抛物线 C 的方程为 2 4xy 其准线方程为1y 3 解析解析 设直线 1122 3 2 l yxt A x yB xy 1 由题设得 3 0 4 F 故 12 3 2 AFBFxx 由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx 可得 22 912 1 40 xtxt 则 12 12 1 9 t xx 从而 12 1 5 92 t 得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx 2 由3APPB uu u ruur 可得 12 3yy
16、 由 2 3 2 3 yxt yx 可得 2 220yyt 所以 12 2yy 从而 22 32yy 故 21 1 3yy 代入C的方程得 12 1 3 3 xx 故 4 13 3 AB 4 解析解析 1 设 11 1 2 D tA x y 则 2 11 2xy 由于y x 所以切线DA的斜率为 1 x 故 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 22 1 0 txy 设 22 B xy 同理可得 22 22 1 0txy 故直线AB的方程为2210txy 所以直线AB过定点 1 0 2 2 由 1 得直线AB的方程为 1 2 ytx 由 2 1 2 2 ytx x y 可得 2 210 xtx 于是 2 121 21212 2 1 121xxtx xyyt xxt 2 222 121212 11421ABtxxtxxx xt 设 12 d d分别为点D E到直线AB的距离 则 2 12 2 2 1 1 dtd t 因此 四边形ADBE的面积 22 12 1 31 2 SABddtt 设M为线段AB的中点 则 2 1 2 M t t 由于EM AB 而 2 2EMt t AB与
