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1、第 二 章点、直线、平面的投影,2.1 投影的形成及常用的投影方法,2.2 点的投影,2.3 直线的投影,2.4 平面的投影,2.5 几何元素间的相对位置,2.4 平面的投影,2.4.1 平面的表示方法 1. 用几何形状表示,三点,直线和点,两平行线,两相交线,平面图形,2.4.2 平面的投影特性,1. 平面对一个投影面的投影特性,平行,垂直,倾斜,实形性,类似性,积聚性,根据平面在三投影面体系中的位置进行分类：, 投影面平行面, 投影面垂直面, 投影面倾斜面 一般位置平面,正平面水平面侧平面,正垂面铅垂面侧垂面,特殊位置平面,（1）投影面平行面,空间及投影分析 平行一个投影面，与另外两个投影
2、 面垂直。,投影反映实形,投影有积聚性,投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两 个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。,投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两 个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。,投影面平行面的投影特性：,（2）投影面垂直面,空间及投影分析 只垂直一个投影面，对另外两个投 影面倾斜。,投影有积聚性,投影有类似性,投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，它与投 影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹 角；另外两个投影具有类似性。,类似性,类似性,积聚性,投影面垂直面的投影特性：,（3）一般位置平面,空间及投影分析：,对三个投影面都倾斜，三
3、个投影都不反映实形，也没有积聚性。,投影特征：三个投影都有类似性,2. 平面在三投影面体系中的投影,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,2 用迹线表示平面：,用迹线表示的水平面：,用迹线表示的铅垂面：,2.4.3 平面上的直线和点,1. 在平面上取任意直线,定 理 1若一直线过平面上的两点，则直线在平面内。,定 理 2若一直线过平面上的一点且平行于平面内的一条直线，则该直线在平面内。,例2-11：已知平面由AB,CD所确 定,试在平面上任作一直线。,已知平面的投影，如何确定平面上 某条直线的投影？,m/,n/,m,n,思考：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n
4、,m,n,m,唯一解！,2. 平面上取点,面上取点的方法过点在平面内作一直线，由直线确定点 的位置，这样就转化为面上取线的问题。,例2-12：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,例2-13：已知K点在铅垂面ABC上的正面投影k/，求该 点的水平投影k 。,k,k,b,例2-14：已知平行四边形对角线AC为正平线，补全 平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2.5 几何元素间的相对位置,2.5.1 平行问题,1. 直线与平面平行,几何元素 线与线，线与面，面与面,相对位置 平行，相交, 交叉,一般情况： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。,直线与直线平行直
5、线与平面平行平面与平面平行,例2-15： 直线MN与平面ABC 平行，求MN的水平投影。,例： 已知平面 P 由两平行线确定， 试过 K 点作一直线与平面 P 平行，同时与H面平行。,特殊情况： 若一直线平行于投影面垂直面，则具有积聚性的那个投影必与直线的同名投影平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,思考：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,正平线,思考：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,（例2-16）,特殊情况： 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影也平行。,一般情况： 若一平面上的两相交直线对应地平行另一平面的两相
6、交直线，则两平面平行。,2. 平面与平面平行,例2-17,m/,n/,m,n,2.5.2 相交问题, 直线与直线相交 直线与平面相交 平面与平面相交,空间分析： 直线与直线相交 交点 两直线的公有点 直线与平面相交 交点 直线与平面的公有点 平面与平面相交 交线 两平面的公有线,要解决的问题： 如何求出交点或交线？ 几何元素存在相互遮挡问题，如何判断可见性？,1. 直线与平面相交, 平面为特殊位置时的情况 直线为特殊位置时的情况,我们只讨论直线和 平面二者至少有一个为 特殊位置时的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例2-18：求直线MN与平面ABC的交点K并判别
7、可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,mn,b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,(例如-19）,2. 平面与平面相交,我们只讨论两个平面中至少有一个为特殊位置时的情况。,
8、 一个平面为特殊位置时的情况 两个平面均为特殊位置时的情况,空间分析： 交线 两平面的公有线；交线上的点 两面 的公有点。因此，只要确定两平面的两个公有点或 一个公有点和交线的方向，则交线即可作出。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,例 2-20：求两平面的交线MN并判别可见性。,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,例2-21,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N在DEF所确定的平面内，但不在DEF内。所以ABC和DEF的交线应为
9、MK。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,mn,空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,例 2-22：求两平面的交线 MN并判别可见性。,（前）两直线垂直相交（或垂直交叉）-直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该面上的投影仍为直角。,例2-23：作MN垂直于ABC。,n,n/,特殊位置平面的垂线：,2. 两平面垂直：若一平面包含另一平面的垂线
10、， . 则此两平面相互垂直。,两平面垂直划法：,（1）作平面Q包含垂直于平面P的直线AB。,（2）作平面Q垂直于平面P内的直线CD。,例2-24,k,k/,两特殊位置平面垂直, 小 结 ,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面
11、平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,三、平行问题, 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,
