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1、任意角的三角函数 1 角的概念是由几个要素构成的 具体怎样理解 1 角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形 2 按逆时针方向旋转形成的角为正角 按顺时针方向旋转形成的角为负角 没有作任何旋转形成的角为零角 3 角的大小是任意的 前课复习 问题1 初中锐角的三角函数是如何定义的 在Rt ABC中 设A对边为a B对边为b C对边为c 锐角A的正弦 余弦 正切 余切依次为 当角 不是锐角时 我们必须对sin cos tan 的值进行推广 以适应任意角的需要 1 任意角的三角函数定义 设是任意角 的终边上任意一点的坐标是 则 我们把正弦 余弦 正切 余切 正割及余割都看成
2、是以角为自变量 以比值为函数值的函数 以上六种函数统称三角函数 注意 1 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题时 其顶点都在原点 始边都与x轴的非负半轴重合 2 是任意角 射线OP是角 的终边 的各三角函数值 或是否有意义 与ox转了几圈 按什么方向旋转到OP的位置无关 3 sin 是个整体符号 不能认为是 sin 与 的积 其余五个符号也是这样 4 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例 它们的基础共建立于相似 直角 三角形的性质 r 同为正值 所不同的是 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标与距离 坐标与坐标 距
3、离与坐标的比来定义的 它也适合锐角三角函数的定义 实质上 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 2 三角函数是以实数为自变量的函数 3 三角函数的定义域通过对三角函数定义的讨论 推导出任意角三角函数的定义域 自变量取值范围 定义域 R R 余切 cot x y 正割 sec r x 余割 csc r y 例1 已知角的终边经过 求的六个三角函数值 变1 已知角 的终边经过点P 2a 3a 求 的三角函数值 a 0 变2 已知角 的终边与函数的图象重合 求 的三角函数值 特殊角的三角函数值 1 若点P 3 y 是角 终边上一点 且sin 则y的值是 2 已知
4、角 的终边上一点P x 2 x 0 且cos 求sin 和tan 的值 补充练习 3 三角函数值在各个象限内的符号 4 由三角函数的定义知道 终边相同的角的同一三角函数值相等 由此得到诱导公式 一 利用公式 一 可以把求任意角的三角函数值 转化到求0 到360 角的三角函数值 例5 求下列三角函数值 3 已知角 的终边上一点P与A a b 关于x轴对称 a 0且b 0 角 的终边上的点Q与A关于直线y x对称 求sin sec tan cot sec csc 的值 4 cos 0是 是第二象限的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5 函数的值域是 A 2
5、 4 B 2 0 4 C 2 0 2 4 D 4 2 0 4 6 若sin 0且tan 0 则 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 7 已知角 的终边在直线y 3x上 求10sin 3sec 的值 当角的终边不在坐标轴上时 我们把 都看成带有方向的线段 这种带方向的线段叫有向线段 由正弦 余弦 正切函数的定义有 问题2 三角函数的一种几何表示 正弦线 余弦线 正切线 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 1 2 例3 小结反思 任意角三角函数 1 三角函数都是以角为自变量 在弧度制中 三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值 2 三角函数的定义是三角函数的理论基础 三角函数的定义域 函数值符号 公式一等 都是在此基础上推导出来的 4 一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关 与点P x y 在终边上的位置无关 公式一揭示了三角函数值呈周期性变化 即角的终边绕原点每旋转一周 函数值重复出现 3 若已知角 的一个三角函数符号 则角 所在的象限有两种可能 若已知角 的两个三角函数符号 则角 所在的象限就惟一确定
