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1、24 1 4圆周角 中学数学网 群英学科 收集提供 一 复习引入 1 圆心角的定义 在同圆 或等圆 中 如果圆心角 弧 弦有一组量相等 那么它们所对应的其余两个量都分别相等 答 顶点在圆心的角叫圆心角 2 上节课我们学习了一个反映圆心角 弧 弦三个量之间关系的一个结论 这个结论是什么 如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图 弧AB表示圆弧形玻璃窗 同学甲站在圆心O的位置 同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C 丙 丁分别站在其他靠墙的位置D和E 观察图中 ACB ADB和 AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点 探究 1 圆周角的定义 顶点在圆上 并且两边与圆相交的角叫做圆周角 下列各图中的 AP
2、B是否是圆周角 为什么 图 1 图 2 图 3 图 4 问题探讨 用量角器度量图中 ACB ADB AEB和 AOB 猜想结论 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角有什么关系 为了解决这个问题 我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗 圆周角和圆心角的关系 教师提示 注意圆心与圆周角的位置关系 1 折痕是圆周角的一条边 2 折痕在圆周角的内部 3 折痕在圆周角的外部 如图 观察圆周角 ABC与圆心角 AOC 它们的大小有什么关系 说说你的想法 并与同伴交流 圆周角和圆心角的关系 1 首先
3、考虑一种特殊情况 当圆心 O 在圆周角 ABC 的一边 BC 上时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 即 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 老师期望 你可要理解并掌握这个模型 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 2 当圆心 O 在圆周角 ABC 的内部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 老师提示 能否转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD CO
4、D 圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 3 当圆心 O 在圆周角 ABC 的外部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 老师提示 能否也转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD COD 综上所述 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系是 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 即 ABC AOC 如图所示 ADB ACB AOB 分别是什么角 它们 有何共同点 ADB与 ACB有什么关系 同弧所对的圆周角相等 等弧 思考 相等的
5、圆周角所对的弧相等吗 在同圆或等圆中 都等于这条弧所对的圆心角的一半 圆周角定理 A B C D 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 则 D A AB CD 1 试找出下图中所有相等的圆周角 2 7 1 4 3 6 5 8 2 如图 点A B C D在 O上 若 C 60 则 D O 3 如图 等边 ABC的顶点都在 O上 点D是 O上一点 BDC 1 如图 在 O中 BOC 50 求 A的大小 解 A BOC 25 如图 AB是直径 则 ACB 90度 问题1 如图 AB是 O的直径 请问 C1 C2 C3的度数是 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径
6、问题2 若 C1 C2 C3是直角 那么 AOB是 90 180 探究与思考 A B C1 O C2 C3 归纳 定理 3 已知 O中弦AB的等于半径 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 圆心角为60度 圆周角为30度 或150度 中学数学网 群英学科 收集提供 4 如图 A是圆O的圆周角 A 40 求 OBC的度数 中学数学网 群英学科 收集提供 例 如图 AB是 O的直径AB 10cm 弦AC 6cm ACB的平分线交 O于点D 求BC AD BD的长 10 6 练习 如图AB是 O的直径 C D是圆上的两点 若 ABD 40 则 BCD 40 练一练 1 如图 在 O中 ABC 50 则
7、 AOC等于 A 50 B 80 C 90 D 100 D 2 如图 ABC是等边三角形 动点P在圆周的劣弧AB上 且不与A B重合 则 BPC等于 A 30 B 60 C 90 D 45 B 练一练 3 如图 A 50 AOC 60 BD是 O的直径 则 AEB等于 A 70 B 110 C 90 D 120 B 4 如图 ABC的顶点A B C都在 O上 C 30 AB 2 则 O的半径是 解 连接OA OB C 30 AOB 60 又 OA OB AOB是等边三角形 OA OB AB 2 即半径为2 2 5 如图 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗 你有多少种方法 与同学交流一下 D O O O 方法一 方法三 方法二 练习
