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1、备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题3.1导数以及运算、应用试题理（含解析）专题3.1 导数以及运算、应用【三年高考】1. 【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A2【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】3【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【解析】（）（）当时，,因此，当时，将变形
2、为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）当时，在内无极值点，所以（）当时，由，知又，所以综上， （）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.4【2016高考山东理数】已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.5【2016高考新课标1卷】已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【解析】（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设
3、,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故6. 【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C7.【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案
4、】A8.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.9. 【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【解析】设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. （）当时，从而， 在（1，+）无零点
5、. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.10.【2014江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.【答案】【解析】设切点，则由得：，所以点的坐标是.11. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对（1）中的.12. 【2014高考大纲理第22题】函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.【解析】（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；
6、若，则在上是减函数；若，则在上是增函数【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,导数的几何意义与导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的
7、目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想因此在2017年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.预测2017年高考仍将以导数的应用为背
8、景设置成的导数的综合题为主要考点也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力也有可能考查恒成立与存在性问题.【2017年高考考点定位】高考对导数的考查主要有导数的运算，导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1常见函数的求导公式（）（C为常数）；（）；（）；（）；（5）；（6）；（7）且；（8）2两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两
9、个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）3.形如y=f的函数称为复合函数复合函数求导步骤：分解求导回代法则：y|= y| u|【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用
10、商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导【考点针对训练】（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数.考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率也就是说，曲线在点处的切线的斜率是相应地，切线方程为【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标
11、，再求解.【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A B C和 D【答案】C.2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为_【答案】【解析】的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，可得的范围是故答案为考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么
12、函数在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1. 【2016年山西四校第三次联考】已知函数,若对任意，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 【2016年山西四市高三四模】设函数.（1）求的单调区间；（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【解析】（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f（x）=ex-a， 若a0，则f（x）=ex-a0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-，+）上单调递增 ,若a
13、0，则当x（-，lna）时，f（x）=ex-a0；当x（lna，+）时，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增. 考点五、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果
14、左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1. 【2015-2016学年度唐山市高三第一模】已知函数的极大值为m，极小值为n，则m+n=（ ）(A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2【答案】D【解析】因为，令，解得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时函数取得极大值，当时函数取得极小值，所以，故选D2. 【2016年榆林二模】已知函数，（且）.（1）当时，若已知是函数的两个极值点，且满足：，求证：；（2）当时，求实数的最小值；对于任意正实数，当时，求证：.考点五、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【考点针对训练】1. 【2016年安徽
