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1、备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题10.1椭圆试题理（含解析）专题10.1 椭圆【三年高考】1. 【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A2. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 .【答案】3【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限
2、，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解析】（）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程，得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.4【2016年高考北京理数】已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点
3、M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（2）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，所以.上，为定值.5【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，（）当时，求的面积；（）当时，求的取值范围（II）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.6. 【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准
4、方程为 .【答案】7.【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故. （II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.8.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（
5、1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率 (2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且，则，求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此，于是解得.9.【2015高考陕西，理20】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【解析】（I）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.10. 【2014全国大纲理 6】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）A B C D【答案】A【解析】因为AF1B的周长为4
6、，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1,故选A11. 【2014江西，理15】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【答案】12. 【2014全国课标，理 20】设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直直线与的另一交点为（）若直线的斜率为，求的离心率；（）若直线在轴上的截距为2，且，求，【解析】（）由题意得：，的斜率为， ，又，解之：或（舍）， 故：直线的斜率为时，的离心率为（）由题意知：点在第一象限，直线的斜率为：，则：；在直线上，得，且，又在
7、椭圆上，联立、解得：，【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问
8、题等预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件
9、的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(). 注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在轴
10、上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是
11、椭圆；定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为，即，又离心率为，即，解得，所以，所以椭圆的方程为，故选C2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的面积为，则 .【答案】.【考点2】椭圆的几何性质【备考知识梳理】1.椭
12、圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a顶点长轴顶点(a,0)，短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a)，短轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(0，1)，其中c2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围
13、实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围
14、为（ ）A B C D【答案】A 2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆的左、右焦点为，过作直线垂直于轴，交椭圆C于A，B两点，若若为等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】 轴， 为等腰直角三角形， ， ，化为 解得 故选：A【考点3】直线与椭圆的位置关系【备考知识梳理】 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式0，则直线与椭圆交；若=0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，点，且，则直线的方程为 【答案】或 2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点到曲线上的点的距
