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1、备战2017高考数学（精讲+精练+精析）专题10.2双曲线试题理（含解析）专题10.2 双曲线【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A2【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.3【2016高考天津理数】已知双曲线（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的AB
2、CD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D4【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.【答案】2【解析】是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，故填：25【2016高考上海理数】双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【解析】（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲
3、线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为6. 【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B7.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【答案】A8.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【答案】D【
4、解析】依题意，因为，由于，所以当时，所以；当时，而，所以，所以.所以当时，；当时，.9.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、 C、 D、【答案】A10.【2014新课标1，理4】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 （ ）. .3 . .【答案】A【解析】化为标准方程为：，则焦点（，0）到渐近线方程为距离为=，故选A.11. 【2014天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点
5、在直线上，则双曲线的方程为（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】依题意得，所以，双曲线的方程为 ，故选A.12.【2014江西，理20】如图，已知双曲线:()的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，(为坐标原点）.（1） 求双曲线的方程；（2） 过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值 .【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择
6、、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.另外，要深入理解参数的关系、渐近线及其几何意义
7、，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2017年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(). 注意：（1）当时，轨迹是直线去掉线段.(2)当时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1）
8、 焦点在轴上的双曲线的标准方程为；焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.给定椭圆，要根据的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.(2)双曲线中关系为：.【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝
9、对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，定性-确定它是双曲线；定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线的离心率等于,其中一条准线方程，则双曲线 的方程是（ ）A . B
10、 C D【答案】B2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P，切点为T，的中点为M，则_【答案】【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】1.双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2+b2)范围|x|a；yRxR；|y|a顶点实轴顶点(a,0)，虚轴顶点(0，b)实轴顶点(0，a)，虚轴顶点(b,0)对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称离心率e(1，+)，其中c渐近线2.等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，其标准方程为，离心率为，渐近线为.【
11、规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.双曲线的渐
12、近线方程为，可变形为，即，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为).【考点针对训练】1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点、分别是双曲线（,）的右顶点和右焦点,直线交双曲线的一条渐近线于点若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】D. 解得 .故选D. 2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为_.【答案】【考点3】直线与双曲线的
13、位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为，直线，将直线方程与双曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与双曲线有两个交点.当=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与双曲线无公共点.（2）当=0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础2直线ykxb(k0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB
14、| |x1x2| |y1y2|.3对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D【答案】C 2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点.若为等边三角形，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】根据双曲线的定义，可得，是等边三角形，即，即，又，中，即，解之得，由此可得双曲线的离心率，故答案为：.【应试技巧点拨】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知
