《复变函数与积分变换学习指导(第三章)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换学习指导(第三章)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章复变函数的积分 复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具 解析函数的许多重要性质都要利用复 变函数的积分来证明 本章的重点是第二节柯西积分定理 第三节柯西积分公式及其推论 约定 除非特别声 明 否则 曲线指光滑或逐段光滑曲线 围线指逐段光滑的简单闭曲线 逆时针方向为正向 顺时针方向为负向 第一节复积分的概念及简单性质 一 概念 1 定义设有向曲线 以为起点 为终点 沿有定义 顺着沿从到的方向在 上取分点 把曲线分成若干个弧段 在从到的每一个弧段上任取一点 并作和数 其中 如果当分点无限增多 而 这些弧段长度的最大值趋于零时 和数的极限存在且等于 则称 沿从到可积 称为沿从到的积分 并记
2、 为 其中称为积分路径 注 1 和数的极限 是指复数列的极限 2 积分存在时一般记为 而不写成 因 为的值不仅与 有关 而且和积分路径有关 3 表示沿的正方向的积分 表示 沿 的负方向的积分 2 可积的必要条件 沿 可积沿 有界 3 可积的充分条件 定理 3 1若沿曲线连续 则沿 可积且 证记 由于沿曲线连续 故沿曲线连续 从而 均存在 因此 二 性质 1 线性 为复常数 2 可加性 由 衔接而成 3 方向性 4 绝对值不等式 表示弧长的微分 5 积分估值 定理 3 2沿连续且使 的长为 则 证 4 取极限即得 5 取极限即得 例 1 表示连接的任一曲线 则 1 2 证 1 取 令 当时 故
3、2 取 则 令 则 取 则 从而 于是 例 2 求 其中为以为中心为半径的圆周 重要积分 解 当 时 当 时 例 3 试证 其中为连接和的直线段 证 由于沿连续且 故 例 4 试证 证由于 故 式中等号当且仅当时成立 但依题意 故得证 例 5 计算 其中为 1 连接到的直线段 2 连接到的直线段及连续到的直线段所成折线 解 1 2 例 6计算 1 2 3 4 解的参数方程为 1 重要积分 2 3 4 作业 P135 1 2 3 第二节柯西积分定理 数学分析中 若为封闭光滑曲线 所围成的区域为 如果有 则以上两积分均为0 于是思考必与的解析性有关 可以证明还与区域的单连通性有关 一 柯西积分定理
4、 1 柯西积分定理 定理 3 3 设函数在平面上的单连通区域解析 为 任一围线 则 证明略 古莎证明不难但太繁琐 2 柯西积分定理的等价形式 定理设是一围线 为的部 在闭域上解 析 则 注 在闭域解析在包含的某区域解析 证明等价性 定理 3 3 定理 3 3 由注即得 定理定理 3 3 设为的部则在上解析 由定理 即得 例 1求 解的奇点为 在的外部 故 在以为边界的闭圆上解析 故 3 两个推论 推论 3 4 若在平面上单连通区域解析 为 任 一闭曲线 不必是简单的 即可能有重点 则 证 可看作有限多条围线衔接而成 推论 3 5 若在平面上单连通区域解析 则在积 分与路径无关 证取任意两点与
5、设起点为 终点为 为 连接与的任意曲线 且连接成一个围线 则 从而 例 2 求 从 1 到 1 的上半单位圆周 解由于在平面解析 故 例 3分析在为 1 从 1 到 1 的上半单位圆周 2 从 1 到 1 的下半单位圆周 3 从 1 到 再到 1 的折线段 时三者的关系 解由于在 平面仅有奇点 故 二 柯西积分定理的两种推广 1 条件减弱 定理 3 9 设 为围线的部 函数在 解析 在 上连续 则 证明 略 注 条件 在上连续 在上解析 不可改写为 在 解析在上连续 例 4 取的分支 解由 在 上解析 故 在 上连续 从而 2 适用围推广 有界单连通有界多连通区域 定义复围线由条相邻 不相交也
6、不相切 的围线构成 其中中每一条都在其余各条的外部 而它 们又全都在的部 的方向定为 当观察者沿的正方向 绕行时 为边界的有界多连通区域总在他的左手 边 定理 3 10 设是复围线所围成的有界多连通区 域 在 解析 在连续 则 即沿外边界积分等于沿边界积分之和 证 取条互不相交且完全在 端点除外 的光滑弧 为割线 依次与连接 设想将沿割线割破 则 就被分成两个单连通区域 其边界分别为围线与围线 于是 且 例 5 设为围线部一点 求 解 以为圆心作圆周 使全含于的部 则在 部 外部所成区域上解析 在上连续 故 例 6 计算 其中 1 2 解 1 由于的奇点在的部 而奇 点 在 的外部 故在 上解
7、析 于是 故 2 由于的奇点及均在的部 故在 分别作以 1 为心 半径均为的小圆 则 在以及 为边界的多连通区域解 析 在上连续 故 三 变上限积分与原函数 1 变上限积分 定义设 在单连通区域解析 为一定点 对任意 定义的变上限积分为 是 一个单值函数 定理 3 6 设 在单连通区域解析 则变上限积分在 解析且 证 以为心 为半径作一含于的小圆 取圆动点 取到的曲线 使其经过点并全含于 由于在 连续 故 又由于 故 由的任意性知 当时 即 定理 3 7 1 在单连通区域连续 2 沿任一围线的积分值为0 从而积分与路径无关 在 解析 为 中一定点 且 2 原函数 定义设在区域连续 若则称 为
8、的一个不定积分或一个原函数 定理 3 8 若在单连通区域解析 或 在连续 沿任一围线的积分值为0 则 1 的 不定积分一般表达式为 2 若为 的一个不定积分 则 证 1 由 根据第二章习题的结 论即知 即得 2 设 为 的一个原函数 则由 1 令 则得 从而得证 例 计算积分路径是顶点为 的四边 形的边 解取位于原点右边连接到的右半单位圆周 设 则 从而 作业 P136 4 1 2 6 8 第三节柯西积分公式及其推论 一 柯西积分公式 1 柯西积分公式 定理 3 11 设区域的边界是围线 或复围线 在解析 在 上连续 则 或 称 为柯西积分 证对任意固定 由于在 连续 故 令 则在以 为唯一奇
9、点 故 又 故 由的任意性 即有 从而得证 例 1 求 其中 2 解 1 原式 2 原式 例 2 求 解法一 解法二 注 公式中是被积函数在部的唯一奇点 若 在 部有两个以上奇点 就不能直接应用柯西积分 公式 例 3 求 解 2 柯西高阶导数公式 定理 3 13若在区域解析 在上连续 则 在 有各阶导数 且 证当 时 对 下证 在充分小时不超过任给正数 设沿 表示与上点间的最短距离 于是 当 时 先设 于是 故 其中为 的长度 只要取 即得 当 时公式成立 当时 只须验证在 时 以 为极限 方法和证明时类似 但稍微复杂些 略去 例 4 计算 是绕一周的围线 解 例 5 设 求 解 当 时 由柯
10、西积分定理 从而 当 时 由柯西高阶导数公式 故 第四节解析函数与调和函数的关系 一 调和函数与共轭调和函数 1 定义 3 5若二元实函数在区域有二阶连续偏导数且满 足拉普拉斯方程 则称为 区域的调和函数 记 则为运算符 号 称为拉普拉斯算子 2 定义 3 6在区域满足条件 的两个调 和函数中 称为在区域的共轭调和函数 注 在的共轭调和函数应为 3 定理 3 18 若在区域解析 则在区域 必为的共轭调和函数 证 由在解析知 从而 又解析函数具有的无穷可微性保证 在 均连续 故必相等 于是在 同理 即 满足拉普拉斯方程 已知 求使解析 二 从已知解析函数的实 虚 部求它的虚 实 部的方法 1 线
11、积方法 定理 3 19 设 是在单连通区域的调和函数 则存在 使 是 的解析函数 其中是定点 是动点 为任意常 数 积分与路径无关 证 要使成为解析函数 则必须满足条件 条件 又 故 又 在单连通区域可微 故积分与路径无关 从而 2 条件 由 两边对求积分 两边同时求的偏导 由条件 两边对求积分求得的表达式 从而 3 观察法 例 1 验证是平面上的调和函数 并求出以 为实部的解析函数 使 解 1 故 2 方法一 故 又 故 从而 方法二 由于 故 于是 从而 于是 即 故 以下同方法一 略 方法三 由于 故 余下 略 例 验证在右半平面是调和函数 并求以 此为虚部的解析函数 解 1 故 即在右半平面是调和函数 2 由得 又 故 于是 故从而 在右半平面单值解析
