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1、理科数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）1、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A. B.1 C.1,2 D.1,2,32. 已知复数z=m+(m-1)i在复平面所对应的点在第四象限，则实数m的取值范围A.（0,1） B. C. D.3.如图，长方体中，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是ABCD4.A. B. C. D.5.若满足约束条件则的最大值为A10B8C5D36.已知，则“”是“是直角三角形”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
2、7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为ABCD8.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有割圆密率捷法一书,为我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值(其中P表示的近似值),若输入,则输出的结果是ABCD9.已知函数f(x)
3、x2ex，当x1，1时，不等式f(x)m恒成立，则实数m的取值范围为A，) B(，) Ce，)D(e，)10.已知奇函数是R上增函数,则A BC D11.若，则的最小值为（ ）A6BCD12.已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A BCD2、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.若向量满足，则实数的取值范围是_.14.展开式的第5项的系数为_.15.已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为_；16.已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为_.三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题：共60分。17某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照40，50），50，60），60，70），90，100分成6组，制成如图所示频率分布直方图（1）求图中x的值.（2）求这组数据的中位数.（3）现从被调查的问卷满意度评分值在60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率18已知等差数
5、列的前项和为，且满足（1）求数列的通项公式.（2）设 ，数列的前项和为，求证： .19如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，（）求证：平面（）求证：平面（）在直线上是否存在点，使得平面？并说明理由20设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点， 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程.(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值.21已知函数.（1）求函数的最小值；（2）设函数，讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的
6、热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标.（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.23已知，不等式恒成立.（1）求证:.（2）求证:.参考答案1、 BAAC DDAB DBCA2、 13.（-3,1） 14.70 15. 16.23、17解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）10=1，解得x=0.02（2）中位数设为m，则0.
7、05+0.1+0.2+（m-70）0.03=0.5，解得m=75（3）可得满意度评分值在60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数有（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.418
8、解：（1）设数列的公差为，由，则，又由，又所以 （2）由（）可知 数列的前项和为 由，所以19解：（）设与交于点， ， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面（）连接， ， 平行四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 平面（）直线上是否存在点理由如下以为原点，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，设平面一个法向量为，由，得,令，得，设，则，若平面，则有，但 ，即与平行不会成立， 不存在点使得平面20解：(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为，由题知，椭圆的方程为易求得，点在椭圆上，解得，椭圆的方程为.(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在
9、时，不妨设切线的方程为，由(1)知， ，当过点与圆相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为，即联立直线和椭圆的方程得，得，且， 21解：（1）令，令，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，所以时，取得极小值，也是最小值，所以；（2），令， 的递减区间是，递增区间是，所以的极小值为，也是最小值，.所以，因为，令，令， 的递减区间是，递增区间是，所以的极小值为，也是最小值，所以，所以的递减区间是，递增区间是，又因为，且，所以，当时，有0个零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点.22解：（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.23解：（1），.，当且仅当时等号成立.（2），即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.
