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1、解析几何题汇总2（2013年模拟-理科）19（14分）（2013海淀区一模）已知圆M：（x）2+y2=r2=r2（r0）若椭圆C：+=1（ab0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为（I）求椭圆C的方程；（II）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程803738 专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；（II）由点G在线段AB上，且|AG
2、|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的围即可求得r围；解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆M的圆心（，0），得a=，又，所以c=1，b=1所以椭圆C的方程为：（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l与椭圆C交于两点A，B，则，所以（1+2k2）x22=0，则x1+x2=0
3、，所以=，点M（，0）到直线l的距离d=，则|GH|=2，显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以=4，=2，当k=0时，r=，当k0时，2（1+）=3，又显然2，所以，综上，点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握19（14分）（2013海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60的菱形的四个顶点（）求椭圆M的方程；（）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经
4、过点，求AOB（O为原点）面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119409专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下SAOB的最大值解答：解：（）因为椭圆+=1（ab0）的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60的菱形的四个顶点，a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=14分（）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，），显然直线A
5、B有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=x2，y1=y2，所以SAOB=|2x1|y1|=|x1|y1|=|x1|=，=，SAOB，当且仅不当|x1|=时，SAOB取得最大值为7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t23=0，当=4（9k2+33t2）0，即3k2+1t2，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=8分所以=，又=，化简得到3k2+1=4t代入，得到0t4，10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1x2|=，所以SAOB=|AB|d|=，化简得：SAOB=12分0t4，所以当t=
6、2时，即k=时，SAOB取得最大值为综上，SAOB取得最大值为14分点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题19（14分）（2013西城区一模）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2，求的取值围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质803738 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方
7、程分析：（）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60，设 F（c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；（）由（）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GDAB得kGDk=1，则D点横坐标也可表示出来，易知GFDOED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的围；解答：解：（）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，
8、b）时，其倾斜角为60设 F（c，0），则 将 代入a2=b2+c2，得a=2c所以椭圆的离心率为 （）由（），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得 （4k2+3）x2+8ck2x+4k2c212c2=0则 ，所以因为 GDAB，所以 ，因为GFDOED，所以 =所以的取值围是（9，+）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高18（13分）（2013西城区二模，石景山区二模）如图，椭圆的
9、左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称（）若点P的坐标为，求m的值；（）若椭圆C上存在点M，使得OPOM，求m的取值围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质803738 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（）设M（x0，y0）（1x01），则 ，由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OPOM得，联立 消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的围；解答：解：（）依题意，M是线段AP的中点，因为A（1，0），所以 点M的坐标为由于点M在椭圆C上，所以 ，解得 （）设M（
10、x0，y0）（1x01），则 ，因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）因为 OPOM，所以，所以，即 由 ，消去y0，整理得 所以 ，当且仅当 时，上式等号成立所以m的取值围是点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用19（13分）（2013东城区一模）已知椭圆（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且MNF2的周长为8（）求椭圆C的方程；（）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值考点：直线与
11、圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119409专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由MNF2的周长为8，得4a=8，由，得，从而可求得b；（）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，x0），再由A、B在椭圆上可求x0，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知0，由OAOB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验
12、0解答：解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2因为，所以，所以b2=3所以椭圆C的方程为（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，x0）又A，B两点在椭圆C上，所以，所以点O到直线AB的距离当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0由已知0，设A（x1，y1），B（x2，y2）所以，因为OAOB，所以x1x2+y1y2=0所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即所以整理得7m2=12（k2+1），满足0所以点O到直线AB的距离为定值点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求
13、解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握19（13分）（2013东城区二模）已知椭圆C：（ab0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求x12+y12的取值围（3）如果直线y=kx+1（k0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程1119409专题：圆锥曲线中的最值与围问题分析：（1）利用椭圆的离心率，a2=b2+c2，及其点到直线的距离公式即
14、可得到a，b；（2）利用轴对称即可得到点P（x0，y0）与其对称点P1（x1，y1）的坐标之间的关系，再利用点P（x0，y0）满足椭圆C的方程：得到关系式，进而即可求出；（3）设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（xM，yM），则BMEF得到关系式，把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可解答：解：（1），a2=b2+c2，a=2b原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2故所求椭圆C的方程为（2）点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为点P1（x1，y1），解得 ，点P（x0，y0）在椭圆C：上，4x04，的取值围为4，16（3）由题意消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx12=0可知0设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（xM，yM），则，则，yM=kxM+1=xM+kyM+2k=0即又k0，点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立
