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1、题 目： 几何概率的性质及其应用 姓 名： 学 号： 系 别： 专 业： 年级班级： 指导教师： 职称： 2010年 月 日毕业论文（设计）作者声明本人重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文容不涉及国家。论文题目：几何概率的性质及其
2、应用作者单位： 作者签名： 2010年 月 日 目 录摘要 1Abstract2引言 31几何概率的定义42几何概率的性质 43. 几何概率的应用 8结束语 15参考文献 16致 17 几何概率的性质及其应用摘 要：几何概率问题研究的是“等可能无限”的概率模型，在概率概念的发展中起过重要的作用。几何概率在概率运算和实际应用中占有一定的地位。本文在以下几个方面做了探讨：利用几何概率求两人在某时间段相见的概率；利用蒲丰投针问题的结论可以求的近似值，本文介绍直接应用几何概率求的近似值。船只停泊码头也是日常生活中常见的现象，本文假设两船不能同时停泊在同一码头，它们在一昼夜到达码头的时刻是等可能的，通过
3、分析作图，利用几何概率也可以得出两只船中任何一艘不需要等待码头空出的概率；对于三段小棒构成三角形、圆周上三点构成钝角三角形、两根都是实数等数学问题及生活中投标射击、检测等问题本文也都进行了介绍。关键词：概率论;几何概率;几何图形Properties and applications of geometric probability Abstract：What the geometric probability research is an equally possible and unlimited probability model, probability concepts in deve
4、lopment played an important role. Geometric probability calculation and application of probability occupies a certain position. This article is made in the following areas of: using the geometric probability of a certain period of time the two meet demand probability; use Buffon needle problem of co
5、nclusions can seek an approximation of , the direct application of this article describes the geometric approximation of the probability of seeking . Vessel berthing is also a common phenomenon in daily life, this assumption can not be two ships parked in the same terminal at the same time, they rea
6、ch the terminal in a time of day and night is possible, by analyzing the mapping, using the geometric probability can be obtained in two boats Any one need not wait for the probability of vacant terminals; for three paragraphs constitute a small stick triangle, circle three form an obtuse triangle,
7、two are real life, such as math problems and tender shooting, testing and other issues have also conducted this article Introduction. Keywords: probability;geometric probability;geometric graphics引言概率是描述事情发生可能性大小的数量指标，它是逐渐形成和完善起来的。最初人们讨论的是古典概率试验中事件发生的概率，古典概率的定义要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制。当试验中样
8、本点有无穷不可数多个时，再求概率问题，古典概率就不太适用了。为了克服定义的局限性，人们又引入概率的几何定义，即几何概率。几何概率具有以下两个基本特征：（1）样本空间包含无穷多个样本点，而每个样本点由几何空间中的某一区域的随机变量来确定;(2) 各个样本点的发生是等可能的。几何概率的计算要用到度量空间中的维数和测度，线的测度是其长度，平面图形的测度是其面积，立体图形的测度是其体积，在利用测度计算几何概率的时候，关键是分析基本事件所对应的区域的维数，从而转化为相应维数的测度比，而与其形状、位置无关。1.几何概率的定义1.1 概率的公理化定义设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域，如果对任意
9、事件，定义在上的一个实值函数满足：（1） 非负性公理 若 ，则；（2） 正则性公理 =1；（3） 可列可加性 若互不相容，有=，则称为事件的概率，称三元素（）为概率空间。1.2几何概率的定义设是 n 维空间的勒贝格( L e b e s g u e ) 可测集，具有有限的测度( )0 ，L ()表示的勒贝格测度，现向中等可能地投掷一点M，即M在中均匀分布， 那么M落在可测集 ()中的可能性与的测度成正比,而与的形状无关。则M落在中的概率为 =，表示的勒贝格测度。( 这里的测度在一维空间中指有限区间的长度、二维空间中指可求积的平面区域的面积，三维空间中指可求积空间区域的体积等。) 几何概率的性质
10、几何概率是概率的一种，它具有概率的所有性质。性质 2.1 证明：由于可列个不可能事件之并仍是不可能事件，所以 因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得 从而由=1得 再由非负性公理，必有性质 2.2 若有限个事件互不相容，则有证明：对,应用可列可加性得 = =即性质 2.3 对任一事件，有 = 证明：因为与互不相容，且，所以由概率的正则性和有限可加性得 由此得 =性质 2.4 若则证明：因为，所以，且与互不相容，由有限可加性得即得推论 若，则但以上推论的逆命题不成立，即由，无法推出性质 2.5 对于任意两个事件，有证明：因为且所以由性质2.4得性质 2.6 对任意两个事件，有
11、 （2.6.1）对任意个事件有 （2.6.2） 证明：先证（2.6.1）式 因为，且与互不相容，所以由有限可加性和性质2.5得 下面用归纳法证明（2.6.2）式当=2时，（2.6.2）式即为（2.6.1）式。设（2.6.2）式对成立，则对，先对两个事件与用（2.6.1）式 = 然后由归纳假设，对)及进行展开，经过整理合并可知（2.6.2）式对也成立。推论：对任意两个事件，有 对任意个事件，有定义 2.1 （1）对中任一单调不减的事件序列称可列并为的极限事件，记为。（2）对中任一单调不增的事件序列称可列交为事件的极限事件，记为。定义 2.2 对上的一个概率（1） 若它对中任一单调不减的事件序列均
12、成立，则称概率是下连续的。（2）若它对中任一单调不增的事件序列均成立 ，则称概率是上连续的。性质 2.7 若为事件域上的概率，则既是上连续的，又是下连续的。证明：先证的下连续性。设是事件域中一个单调不减的事件序列，即。若定义，则。由于，显然两两不相容，由可列可加性得又由有限可加性得所以 。即是下连续的。再证是上连续的。设是单调不增的事件序列，则是单调不减的事件序列。由概率的下连续性得由此得。即是上连续的。性质 2.8 若是上满足的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是（1）它是有限可加的（2）它是下连续的。证明： 必要性可以由性质2.3与性质2.7获得，下证充分性。设，是两两不相容的事件序列，由可列可加性可知：对任意有限的都有。这个等式的左边不超过1，因此正向级数收敛即 （2.8.1）记，则是单调不减的事件序列，所以由下连续性可得 （2.8.2）结合（2.8.1）和（2.8.2）式即得可列可加性。.几何概率的应用3.1 会面问题例3.1.1两人约定于0到时在某地方相见，先到者等（）时后即可离去，求两人能相见的概率。解：以分别表示甲、乙两人到达约会地点的时刻，表示“两人能会面”因为两人分别在0到时刻到达是等可能的，故问题可以看作几何概率问题，即看作在平面区域均匀投点，两人相见这一事件可表示为0，0且为边长为的正方形，由几何概率的定义，两人能会面的概率为
