大学物理--稳恒磁场

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1、1 磁畴图象 第十章稳恒磁场 10 1磁场磁感应强度 10 2安培环路定理 10 3磁场对载流导线的作用 10 4磁场对运动电荷的作用 10 6磁介质 2 10 1磁场磁感应强度 一 基本磁现象 1 自然磁现象 磁性 具有能吸引铁磁物资 Fe Co Ni 的一种特性 磁体 具有磁性的物体 磁极 磁性集中的区域 地磁 地球是一个大磁体 磁极不能分离 正负电荷可以分离开 3 地核每400年比地壳多转一周 地球的磁极每隔几千年会发生颠倒 4 磁现象起源于运动电荷 后来人们还发现磁电联系的例子有 磁体对载流导线的作用 通电螺线管与条形磁铁相似 载流导线彼此间有磁相互作用 1819 1820年丹麦物理学

2、家奥斯特首先发现了电流的磁效应 1820年4月 奥斯特做了一个实验 通电流的导线对磁针有作用 使磁针在电流周围偏转 上述现象都深刻地说明了 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系 5 安培的分子电流假说 磁力 近代分子电流的概念 轨道圆电流 自旋圆电流 分子电流 一切磁现象都起源于电流 任何物质的分子中都存在着环形电流 分子电流 每个分子电流就相当于一个基元磁体 当这些分子电流作规则排列时 宏观上便显示出磁性 1822年安培提出了用分子电流来解释磁性起源 磁体与磁体间的作用 电流与磁体间的作用 磁场与电流间的作用 磁场与运动电荷间的作用 均称之为磁力 6 1 磁场 1 磁力的传递者是磁场 2 磁场

3、是由运动电荷所激发 参考系是观察者 3 磁场对外的重要表现 电流 或磁铁 磁场 电流 或磁铁 静止电荷激发静电场运动电荷可同时激发电场和磁场 1 磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用 2 载流导体在磁场中移动时 磁场的作用力对载流导体作功 表明磁场具有能量 二 磁感应强度 磁场与电场一样 是客观存在的特殊形态的物质 7 2 磁感应强度 1 磁矩 定义载流线圈的面积 S与线圈中的电流I的乘积为磁矩 多匝线圈还要乘以线圈匝数 即 式中N为线圈的匝数 为线圈的法线方向 Pm与I组成右螺旋 2 磁场方向 使线圈磁矩处于稳定平衡位置时的磁矩的方向 8 3 磁感应强度的大小 磁感应强度的单位1特

4、斯拉 104高斯 1T 104GS 是试验线圈受到的最大磁力矩 是试验线圈的磁矩 9 1 磁力线 常见电流磁力线 直电流 圆电流 通电螺线管的磁力线 1 什么是磁力线 2 磁力线特性 三 磁通量磁场中的高斯定理 磁力线是环绕电流的闭合曲线 磁场是涡旋场 任何两条磁力线在空间不相交 磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则 10 d m是 穿过dS面的磁力线条数 3 用磁力线描述磁场强弱 规定 通过垂直于磁力线方向的单位面积的磁力线数等于这一点磁感应强度的大小 即 B的另一单位 11 穿过磁场中某一曲面的磁力线总数 称为穿过该曲面的磁通量 用符号 m表示 3 磁场中的高斯定理 这说明i 磁力

5、线是无头无尾的闭合曲线 ii 磁场是无源场 磁场无磁单极存在 2 磁通量 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线 所以穿过任意闭合曲面的总磁通量必为零 12 1 电流元的方向 为线段中电流的方向 1 毕奥 沙伐尔定律 四 毕奥 沙伐尔定律 13 2 在 SI 制中 3 B的方向dB Idl与r组成的平面 且dB与dl r0同向 14 整个载流导体在P点的磁感应强度则是电流元在P点产生的dB之矢量和 式中r0是电流元指向P点的矢径的单位矢 电流元在P点产生的磁感应强度的矢量式为 15 2 定律应用 由Idl r确定电流元在P点的dB的方向 将dB向选定的坐标轴投影 然后分别求出 16 1 载流直导线的磁

6、场 解 取电流元Idl P点对电流元的位矢为r 电流元在P点产生的磁感应强度大小为 方向垂直纸面向里 且所有电流元在P点产生的磁感应强度的方向相同 所以 17 设垂足为o 电流元离o点为l op长为a r与a夹角为 则 18 因为 所以 19 关于 角的有关规定 长直电流的磁场 角增加的方向与电流方向相同 则为正 反之 则为负 20 半长直电流的磁场 半长直电流 垂足与电流的一端重合 而直电流的另一段是无限长 21 2 圆电流的磁场 解 由于对称性 22 所以 即 23 轴线上任一点P的磁场 圆电流中心的磁场 圆电流的中心的 1 n圆电流的中心的 24 长直电流与圆电流的组合 例求下各图中0点

7、的B的大小 25 求如图所示的电流中球心0的磁感应强度 26 纸面向里 2 电流元中心 27 例10 1无限长直导线折成V形 顶角为 置于X Y平面内 且一个角边与X轴重合 如图 当导线中有电流I时 求Y轴上一点P 0 a 处的磁感应强度大小 解 如图示 将V形导线的两根半无限长导线分别标为1和2 则 方向垂直纸面向内 可求导线2在P点的磁感应强度 利用 方向垂直纸面向外 28 P点的总磁感应强度大小为 B的正方向垂直纸面向外 29 非相对论条件下 运动电荷的电场与磁场 如图 若带电粒子 即电荷 的定向运动速度为v 设导线截面为s 带电粒子数密度为n 则在dt时间内过截面s的带电粒子数 已知由

8、电流元激发的磁场为 五 运动电荷的电磁场 30 若每个载流子的电荷为q 则dt时间内通过s截面的电量 于是在电流元中的电流强度为 若把电流元Idl所激发的磁场 看成由dN个载流子 运动电荷 激发而成 则 31 电荷q相对观察者以速度v运动 若v c 则单个运动电荷在空间A点所激发的磁场为 32 例10 2求氢原子中作轨道运动的电子产生的磁场和电子的轨道磁矩 B的方向垂直纸面向内 磁矩 解 33 10 2安培环路定理 一 安培环路定理 在静电场中 那么在稳恒磁场中 1 安培环路定理 B的环流不为零 说明磁场是非保守场 是有旋场 34 在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线l 在无限长直线电

9、流磁场情况下验证安培环路定理 35 当回路不包围电流时用同样方法可以证明 B在该回路上的线积分为零 可见 线积分与回路包围的电流有关 与回路的形状无关 36 1 电流正 负号的规定 I与L成右螺旋为正 反之为负 右图 I1与L的绕向成右螺旋关系取正号 I2 I3与L的绕向成左螺旋关系取负号 I4 I5没有穿过L 对B的环路积分没有贡献 37 2 正确理解安培环路定律应注意的两点 安培环流定律只是说B的线积分值只与穿过回路的电流有关 而回路上各点的B值则与所有在场电流有关 如果没有电流穿过某积分回路 只能说在该回路上B的线积分为零 而回路上各点的B值不一定为零 38 二 安培环流定理的应用 利用

10、安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的电流分布的磁场 1 首先要分析磁场分布的对称性 2 选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线上B为常数 或者使某一段积分线路上B处处与dl垂直 3 利用求B 39 1 长直密绕螺线管内部磁场 n为线圈单位长度匝数 解 由对称性知 内部磁力线平行于轴线 是一均匀场 因为螺线管是密绕的 没有漏磁 所以 螺线管外部靠近中央部分的磁感应强度为零 取矩形闭合回路abcd 按图中规定的回路绕向积分 则有 40 线圈单位长度上的匝数为n 则 所以 41 解法二 利用毕奥 萨法尔定律 42 讨论 43 2 长直载流圆柱体 设轴向电流I均匀分布在半径R的截面上 解 磁场是轴

11、对称的 过圆柱体外一点 取同轴圆周l为积分回路 则 44 解如图 平板两边均为与平面平行的匀强场 但方向相反 取如图矩形积分回路abcd 则 3 无限大载流平板外的场 设单位长度上的电流为i 45 三 磁通量的计算 例10 3截面为矩形的螺线环 内半径为r1 外半径为r2 共N匝 电流强度为I 求通过环截面的磁通 设环内为真空 解 先由安培环路定理求环内的B 此时环内磁力线是与螺绕环同心的圆形闭合曲线 线上各点的B值大小相等 就以此线为积分回路 所以 46 例10 4如图载有电流I的直导线旁有一与之共面的直角三角形线圈 相对位置如图所示 试计算通过这三角形线圈的磁通 解 取面元如图 47 例1

12、0 5有一长直导体圆管 内 外半径分别为R1 R2 通有电流I1 且均匀分布在其横截面上 导体旁有一绝缘 无限长 直导线载有电流I2 且在中部绕了一个半径为R的圆 导管轴线与直线平行 相距为d 1 求圆心O点的磁感应强度 2 导体圆管的磁场穿过内 外圆筒间如图所示截面的磁通 解 1 圆电流产生的磁场 长直导线电流的磁场 导管电流产生的磁场 所以O点处的磁感应强度 48 2 导管内部的场 磁通 因为 所以在区间 49 50 例10 6求旋转的带电圆盘的圆心处及轴线上坐标为x处的B 设圆盘的电荷面密度为 半径为R 旋转的角速度为 解 取半径为r宽度为dr的圆环 则旋转时的等效电流 i 圆盘中心处的

13、B大小为 ii 圆盘轴线上处的B 51 52 例10 7在一平面内有三根电流已知的平行载流长直导线 导线1和导线2中的电流I1 I2且方向相同 两者相距3 10 2m 并且在导线1和2之间距导线1为10 2m处B 0 求第三根导线放置的位置与所通电流I3之间的关系 解 设第三根导线距I1为x 且与I1同向 并规定垂直纸面向外的B为正 于是在x0处有 式中d 3 10 2m x0 10 2m 解得 当I3与I1同向时 I3在B 0处的右侧 当I3与此I1反向时 I3在B 0处的左侧 53 一 安培定律 在SI制中k 1 10 3磁场对载流导线的作用 一段电流元Idl在磁场中所受的力dF 其大小与

14、电流元Idl成正比 与电流元所在处的磁感应强度B成正比 与电流元Idl和B的夹角的正弦成正比 即 dF的方向 右螺旋法则 即 54 F垂直纸面向里 I与B垂直 F最大 I与B平行 F为零 安培定律的积分形式 这是矢量积分 一般情况下把它们分解到不同方向上 求每一方向的分力 最后再求总的合力 如 55 解 任选一电流元Idl 由安培定律知 df的方向沿该点径向向外 例10 9设有一段半径为R的半圆形载流导线放在匀强磁场中 导线平面与磁场垂直 导线中电流为I 如下图所示 求该导线所受的安培力 以圆心为坐标原点 直径为x轴 56 推论 任意闭合载流线圈在匀强场中所受安培力的合力必定为零 例10 10

15、任意形状的一段导线ab 其中通有电流I 导线放在垂直于B的平面内 B为均匀场 试证明导线ab所受的安培力等于由a b间载有同样电流的直导线所受的力 此结论的前提条件有两点 匀强场 导线平面垂直于B 证 得证 57 于是整个电流ab所受安培力为 例10 11 非匀强场 一段直导线ab长为L 通有电流I2 处于长直电流I1的磁场中 I1 I2共面 且I2 I1 尺寸如图 求ab所受安培力 而电流元所在处的磁场为 解 I1右边的磁场均 纸面向里 在距I1为r处的I2上取电流元I2dl 58 例10 12如图 长直电流I1穿过半径为R的圆电流I2的中心 两导线彼此绝缘 求圆电流所受安培力 解 先讨论右

16、半圆电流 取电流元I2dl 则df的方向沿径向向外 大小为 由图可看出dfy对x轴的对称 故 59 同理 所以 力的方向沿x轴正向 60 二 安培 单位的定义 如图 导线C和D载有方向相同的电流 C D两导线的距离为a 则D上的电流元I2dl2受C的电流磁场B1的作用力df2垂直于导线D 方向指向C df2的大小为 导线上单位长度受力大小为 1 两无限长直电流之间的相互作用力 61 同理 导线C上单位长度受力大小为 方向指向导线D 由此可见 两导线电流方向相同时互相吸引 电流方向相反时互相排斥 单位长度载流导线所受力为 62 2 安培 的定义 因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安培力的大小 规定 放在真空中两条无限长的载流平行导线通有相等的稳恒电流 当两导线相距一米 每一根导线每一米长度受力2 10 7牛顿时 每根导线上的电流为一安培 即 63 1 匀强磁场对载流线圈的作用 如图 设矩形线圈的ab和cd边长为l2 ad和bc边长为l1 线圈磁矩方向与磁场的夹角为 1 平面矩形线圈的da bc边受力分析 da边的电流I与B方向的夹角为 da边受力F1的方向在纸面内垂直da向上 大