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1、稳定性模型 对象仍是动态过程 而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似 7 1捕鱼业的持续收获 再生资源 渔业 林业等 与非再生资源 矿业等 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及分析 在捕捞量稳定的条件下 如何控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量 渔场鱼量将保持不变 则捕捞量稳定 背景 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x
2、 t 只需知道x t 稳定的条件 r 固有增长率 N 最大鱼量 h x Ex E 捕捞强度 x t 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性自治 右端不含t 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡点 不求x t 判断x0稳定性的方法 直接法 1 的近似线性方程 产量模型 稳定性判断 x0稳定 可得到稳定产量 x1稳定 渔场干枯 E 捕捞强度 r 固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下 控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标x0 平衡点 P的纵坐标h 产量 产量最大 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的
3、条件下 控制捕捞强度使效益最大 求E使R E 最大 渔场鱼量 收入T ph x pEx 支出S cE 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R E 最大 开放式捕捞只求利润R E 0 R E 0时的捕捞强度Es 2ER 临界强度下的渔场鱼量 令 0 xs由成本 价格比决定 临界强度 捕捞过度 收入 支出 利润 经济学捕捞过度 生态学捕捞过度 捕鱼业的持续收获 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件 讨论产量 效益和捕捞过度3个模型 7 2军备竞赛 描述双方 国家或国家集团 军备竞赛过程 解释 预测 双方军备竞赛的结局 假设 1 由于相互不信任 一方军备越大 另一方军
4、备增加越快 2 由于经济实力限制 一方军备越大 对自己军备增长的制约越大 3 由于相互敌视或领土争端 每一方都存在增加军备的潜力 进一步假设 1 2 的作用为线性 3 的作用为常数 目的 建模 军备竞赛的结局 x t 甲方军备数量 y t 乙方军备数量 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 记系数矩阵 特征方程 特征根 特征根 平衡点P0 0 0 微分方程一般解形式 1 2为负数或有负实部 p 0或q 0 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点 x0 y0 稳定的条件 模型 军备竞赛 模型的定性解释 双方军备稳定 时间充分长后趋向有限值 的条件 双方经济制约
5、大于双方军备刺激时 军备竞赛才会稳定 否则军备将无限扩张 平衡点 2 若g h 0 则x0 y0 0 在 kl下x t y t 0 即友好邻国通过裁军可达到永久和平 模型 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 3 若g h不为零 即便双方一时和解 使某时x t y t 很小 但因 也会重整军备 4 即使某时一方 由于战败或协议 军备大减 如x t 0 也会因使该方重整军备 即存在互不信任 或固有争端 的单方面裁军不会持久 模型的定性解释 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 模型 7 3种群的相互竞争 一个自然环境中有
6、两个种群生存 它们之间的关系 相互竞争 相互依存 弱肉强食 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时 常见的结局是 竞争力弱的灭绝 竞争力强的达到环境容许的最大容量 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程 分析产生这种结局的条件 经过自然界的长期演变 今天看到的只是结局 模型假设 有甲乙两个种群 它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律 两种群在一起生存时 乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比 甲对乙有同样的作用 对于消耗甲的资源而言 乙 相对于N2 是甲 相对于N1 的 1倍 模型 模型分析 平衡点及其稳定性 模型 判断P0 x10 x20 稳定性的方法 直接法 1 的近似线
7、性方程 平衡点P0稳定 对 2 1 p 0且q 0 平衡点P0不稳定 对 2 1 p 0或q 0 仅当 1 21时 P3才有意义 模型 平衡点稳定性分析 平衡点Pi稳定条件 p 0且q 0 种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 2 1 1 1 P1 P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3是两种群共存的平衡点 1 1 2 1 P1稳定的条件 1 1 1 1 2 1 稳定条件 平衡点稳定性的相轨线分析 从任意点出发 t 0 的相轨线都趋向P1 N1 0 t P1 N1 0 是稳定平衡点 1 2 1 1 1 有相轨线趋向P1 有相轨线趋向P2 P1稳定的条件 直接法 2 1 P1局部稳定 3 1
8、 1 2 1 2 1 1 2 1 4 1 1 2 1 加上与 4 相区别的 1 1 P2稳定 P3稳定 P2局部稳定 结果解释 对于消耗甲的资源而言 乙 相对于N2 是甲 相对于N1 的 1倍 P1稳定的条件 11 2 1 甲的竞争力强 甲达到最大容量 乙灭绝 P2稳定的条件 1 1 2 1 P3稳定的条件 1 1 2 1 通常 1 1 2 P3稳定条件不满足 7 4种群的相互依存 种群甲可以独自生存 种群乙不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生 受粉的植物与授粉的昆虫 以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存 而昆虫的授粉又可以提
9、高植物的增长率 人类与人工饲养的牲畜 模型假设 甲可以独自生存 数量变化服从Logistic规律 甲乙一起生存时乙为甲提供食物 促进增长 乙不能独自生存 甲乙一起生存时甲为乙提供食物 促进增长 乙的增长又受到本身的阻滞作用 服从Logistic规律 模型 乙为甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲为乙提供食物是乙消耗的 2倍 种群依存模型的平衡点及稳定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点 不稳定 平衡点P2稳定性的相轨线 11 1 2 1 P2稳定 1 21前提下P2存在的必要条件 结果解释 2 1 甲必须为乙提供足够的食物 11条件下 1 2 1成立 1必须足够小 限制乙向甲提供食物 防止甲过分增长
10、 P2稳定 甲乙相互依存 条件 甲可以独自生存 乙不能独立生存 乙为甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲为乙提供食物是乙消耗的 2倍 11 1 2 1 甲乙两种群的相互依存还有其它形式 种群甲可以独自生存 种群乙不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 甲乙均可以独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 甲乙均不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 种群的相互依存 7 5食饵 捕食者模型 种群的弱肉强食 种群甲靠丰富的天然资源生存 种群乙靠捕食甲为生 形成食饵 捕食者系统 如食用鱼和鲨鱼 美洲兔和山猫 害虫和益虫 模型的历史背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降 食
11、用鱼和鲨鱼同时捕捞 但是其中鲨鱼的比例却增加 为什么 食饵 甲 数量x t 捕食者 乙 数量y t 甲独立生存的增长率r 乙使甲的增长率减小 减小量与y成正比 乙独立生存的死亡率d 甲使乙的死亡率减小 减小量与x成正比 方程 1 2 无解析解 食饵 捕食者模型 Volterra a 捕食者掠取食饵能力 b 食饵供养捕食者能力 Volterra模型的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性分析 P点稳定性不能用近似线性方程分析 p 0 q 0P 临界状态 q 0P 不稳定 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x y平面上的相轨线 计算结果 数值 图形 x t y t 是周期函数 相图 x y 是封闭
12、曲线 x t y t 的周期约为9 6 xmax 65 5 xmin 6 ymax 20 5 ymin 3 9 用数值积分可算出x t y t 一周期的平均值 x t 的平均值约为25 y t 的平均值约为10 食饵 捕食者模型 Volterra 用相轨线分析点稳定性 c由初始条件确定 在相平面上讨论相轨线的图形 用相轨线分析点稳定性 相轨线 时无相轨线 以下设 相轨线 P 中心 x是 x1 x2 内任意点 相轨线是封闭曲线 求x t y t 在一周期的平均值 轨线中心 用相轨线分析点稳定性 x t 的 相位 领先y t 模型解释 初值 相轨线的方向 模型解释 r 食饵增长率 d 捕食者死亡率
13、 b 食饵供养捕食者能力 捕食者数量 食饵数量 a 捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比 与a成反比 食饵数量与d成正比 与b成反比 模型解释 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降 但是其中鲨鱼的比例却在增加 为什么 r r 1 d d 1 捕捞 战时捕捞 r r 2 d d 2 2 1 食饵 鱼 减少 捕食者 鲨鱼 增加 自然环境 还表明 对害虫 食饵 益虫 捕食者 系统 使用灭两种虫的杀虫剂 会使害虫增加 益虫减少 食饵 捕食者模型 Volterra 的缺点与改进 Volterra模型 多数食饵 捕食者系统观察不到周期震荡 而是趋向某个平衡状态 即存在稳定平衡点 有稳定平衡点 相轨线是封
14、闭曲线 结构不稳定 一旦离开某一条闭轨线 就进入另一条闭轨线 不恢复原状 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的 即偏离周期轨道后 内部制约使系统恢复原状 食饵 捕食者模型 Volterra 的缺点与改进 r1 1 N1 20 1 0 1 w 0 2 r2 0 5 2 0 18 相轨线趋向极限环 两种群模型的几种形式 相互竞争 相互依存 弱肉强食 连续形式的阻滞增长模型 Logistic模型 t x N x N是稳定平衡点 与r大小无关 离散形式 x t 某种群t时刻的数量 人口 yk 某种群第k代的数量 人口 若yk N 则yk 1 yk 2 N 讨论平衡点的稳定性 即k yk N y
15、N是平衡点 7 6差分形式的阻滞增长模型 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 一阶 非线性 差分方程 1 的平衡点y N 讨论x 的稳定性 变量代换 1 的平衡点x 代数方程x f x 的根 稳定性判断 1 的近似线性方程 x 也是 2 的平衡点 x 是 2 和 1 的稳定平衡点 x 是 2 和 1 的不稳定平衡点 补充知识 的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性 另一平衡点为x 0 不稳定 的平衡点及其稳定性 初值x0 0 2 数值计算结果 b 3 x b 3 3 x 两个极限点 b 3 45 x 4个极限点 b 3 55 x 8个极限点 倍周期收敛 x 不稳定情况的进一步讨论 单周期不收敛
16、 2倍周期收敛 的平衡点 x 不稳定 研究x1 x2 的稳定性 倍周期收敛 x 不稳定 x1 x2 稳定 倍周期收敛的进一步讨论 出现4个收敛子序列x4k x4k 1 x4k 2 x4k 3 平衡点及其稳定性需研究 时有4个稳定平衡点 2n倍周期收敛 n 1 2 bn 2n倍周期收敛的上界 b0 3 b1 3 449 b2 3 544 n bn 3 57 b 3 57 不存在2n倍周期收敛子序列 混沌现象 差之毫厘 失之千里 混沌现象的一个典型特征 对初始条件的敏感性 设x0 0 1000 x0 0 1001 比较xk b 3 7 著名的 蝴蝶效应 的收敛 分岔及混沌现象 b 差分形式的阻滞增长模型 阻滞增长模型 微分方程形式 差分方程形式 有广泛的应用 基本模型是很简单的非线性差分方程 方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的结果 分岔理论和混沌现象 在混沌区域可以出现周期为3 5 收敛的 窗口
