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1、2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.3正方形课时提升作业（含解析）（新版）新人教版正方形(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列命题中,真命题是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解析】选C.满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假命题.只有选项C中的命题是真命题.2.(2017河南中考)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方
2、形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D处,则点C的对应点C的坐标为()A.(,1)B.(2,1)C.(1,)D.(2,)【解析】选D.过点C作CEx轴,垂足为E点,AB=2,O是AB的中点,OA=OB=1,在RtAOD中,AD=2,ADO=30,DAO=60,ADBC,DAO=CBE=60,BCE=30,BC=2,BE=1,CE=,EO=2,C的坐标为(2,).3.(2017攀枝花中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,过点G作GH丄CE于点H,若SEGH
3、=3,则SADF=()A.6B.4C.3D.2【解析】选A.如图,由题意知,EAF=60,EF=AF=AE,ABEADF,BE=DF,CE=CF,BAE=DAF,AC垂直平分EF,CG=EF,即EGH是等腰直角三角形,GHBC,EH=EC,SEGH=SEGC=SECF,将ADF旋转至ABF,作FKAE于点K,易知FAE=30,FK=FA=EF,SADF=SAEF=AEFK=EF2,又SECF=EFGC=EF2,SADF=2SEGH=6.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2017天津中考)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,
4、连接PG,则PG的长为_.【解析】延长GE交AB于点O,作PHOE于点H.则PHAB.P是AE的中点,PH是AOE的中位线,PH=OA=(3-1)=1.在RtAOE中,OA=OE=2,在RtPHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在RtPHG中,PG=.答案:5.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EFAC于点F,连接EC,AF=3,EFC的周长为12,则EC的长为_.【解题指南】首先由正方形的性质,得BAC=45;再由等腰三角形的判定与性质,得EF=AF=3;然后由EFC的周长为12,得到CF=9-EC;最后由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解之
5、即可得到正确答案.【解析】四边形ABCD是正方形,BAC=45.EFAC,AEF=45=BAC.EF=AF=3.EFC的周长为12,EF+CF+EC=12.CF=9-EC.在RtCEF中,由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解得EC=5.答案:56.(2017南充中考)如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转.给出下列结论:BE=DG;BEDG;DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确的结论是_(填写序号).【解析】(1)正方形的各边相等,各角都是90,CB=CD,CE=CG,BCD=ECG=90.BCD+DCE=ECG+DCE,即BCE=DCG
6、.BCEDCG(SAS).BE=DG.可见结论正确.(2)如图,设BE交DC于点M,交DG于点O.由BCEDCG可知CBE=CDG,又BMC=DMO,DOB=DCB=90,即BEDG.可见结论正确.(3)连接BD,EG.BEDG,DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.由勾股定理得BD2+EG2=2a2+2b2.DE2+BG2=2a2+2b2.可见结论正确.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)(2017青岛中考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)
7、求证:BCEDCF.(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.【解题指南】(1)由菱形的性质得出B=D,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC,由SAS证明BCEDCF即可.(2)由(1)得:AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形,再证出AEO=90,即可得四边形AEOF是正方形.【解析】(1)四边形ABCD是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OEBC,在BCE和DCF中,BCEDCF(SAS)
8、.(2)当ABBC时,四边形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得:AE=OE=OF=AF,四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC,OEAB,AEO=90,四边形AEOF是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.(1)求证:BE=CE.(2)求BEC的度数.【解析】(1)四边形ABCD为正方形,AB=AD=CD,BAD=ADC=90,三角形ADE为正三角形,AE=AD=DE,EAD=EDA=60.BAE=CDE=150,在BAE和CDE中BAECDE,BE=CE.(2)AB=AD,AD=AE,AB=AE,ABE=AEB,又BAE=150,ABE=
9、AEB=15,同理:CED=15,BEC=60-152=30.【培优训练】8.(14分)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC的外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE为矩形.(2)当ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.【解析】(1)在ABC中,AB=AC,ADBC,BAD=DAC.AN是ABC的外角CAM的平分线,MAE=CAE.DAE=DAC+CAE=180=90.又ADBC,CEAN,ADC=CEA=90.四边形ADCE为矩形.(2)例如,当BAC=90时,四边形ADCE是正方形.证明:BAC=90,AB=AC,ADBC于点D,ACD=DAC=45,DC=AD.由(1)四边形ADCE为矩形,矩形ADCE是正方形.【变式训练】如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作MECD交BC于点E,作MFBC交CD于点F.求证:AM=EF.【证明】过点M作MPAB交AB于点P,作MQAD交AD于点Q,四边形ABCD是正方形,四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形,四边形APMQ是矩形,AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,在APM和FME中,APMFME(SAS),AM=EF.- 8 - / 8
