《2014年第一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第七节 指数函数与对数函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年第一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第七节 指数函数与对数函数（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节指数函数与对数函数 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 理解指数函数和对数函数的概念 并理解指数函数和对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点 2 知道指数函数和对数函数是两类重要的函数模型 3 了解指数函数y ax与对数函数y logax互为反函数 a 0 a 1 课前自修 知识梳理 一 指数函数与对数函数的关系同底的指数函数y ax与对数函数y logax a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线y x对称 二 指数函数与对数函数的图象所经过的定点1 指数函数y ax的图象经过定点 0 1 函数y ax m的图象经过定点 函数y ax m n经过定点 2 对数函数y loga
2、x的图象经过定点 1 0 函数y loga x m 的图象经过定点 函数y n loga x m 经过定点 m 1 m 1 n m 1 0 m 1 n 基础自测 1 2011 北京市石景山区检测 函数f x 2x的反函数y f 1 x 的图象是 A 2 不论a a 0且a 1 取何实数 函数y 5 loga x 3 的图象都经过的一个定点是 A 2 5 B 2 5 C 2 5 D 3 5 解析 y logax的图象经过定点 1 0 将y logax的图象向左平移3个单位长度 得到函数y loga x 3 的图象 则定点 1 0 平移到了定点 2 0 再将y loga x 3 的图象向下平移5个
3、单位长度得到函数y 5 loga x 3 的图象 则定点 2 0 平移到了定点 2 5 故选C 答案 C 3 若函数f x ax a 0且a 1 的反函数的图象过点 2 1 则a 解析 由于互为反函数的关系 f x 过点 1 2 代入得a 1 2 a 答案 4 2011 杭州市学军中学月考 已知函数f x 满足f x f 4 x 且当x 2时 f x 是增函数 若a f 1 20 9 b f 0 91 2 c f log9 则a b c大小关系为 解析 由f x f 4 x 知函数f x 关于直线x 2对称 在x 2 上递增 故在x 2 上递减 1 1 20 9 2 0 0 91 2 1 lo
4、g9 2 所以a b c 答案 a b c 考点探究 考点一 对数函数与指数函数的图象之间的关系的应用 例1 1 函数y x 1的图象关于直线y x对称的图象大致是 2 已知x1是方程x lgx 3的根 x2是方程x 10 x 3的根 则x1 x2的值是 思路点拨 利用同底数的指数 对数函数的图象关于直线y x对称的关系来解决 解析 1 y x 1图象过点 0 2 且单调递减 故它关于直线y x对称的图象过点 2 0 且单调递减 故选A 2 分别将方程x lgx 3 x 10 x 3变形为lgx 3 x 10 x 3 x 依题意可知 x1 x2分别是函数y lgx与y 10 x的图象与直线y
5、3 x的交点的横坐标 而y lgx与y 10 x的图象关于直线y x对称 且直线y 3 x与直线y x垂直 交点坐标为 所以x1 x2 3 答案 1 A 2 3 变式探究 1 1 2012 佛山市南海一中月考 函数f x 1 log2x与g x 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是 2 2012 浏阳一中月考 若lga lgb 0 a 1 则函数f x ax与g x bx的图象关于 对称 解析 1 本题考查函数图象的平移法则 注意g x 2 x 1 2 x 1 的图象是由y 2 x的图象向右平移1个单位长度而得 故选C 2 由lga lgb 0 ab 1 b 所以g x a x 故f x
6、与g x 的图象关于原点对称 答案 1 C 2 原点 考点二 指数函数与对数函数的图象所经过的定点 例2 不论a a 0且a 1 取何实数 函数y ax 3 4的图象都经过的一个定点是 A 3 4 B 3 5 C 3 5 D 3 4 解析 y ax图象经过定点 0 1 将y ax的图象向右平移3个单位长度 得到函数y ax 3的图象 则定点 0 1 平移到了定点 3 1 再将y ax 3的图象向上平移4个单位长度得到函数y ax 3 4的图象 则定点 3 1 平移到了定点 3 5 故选B 答案 B 点评 随着图象的平移 定点也跟着平移 在平移过程中 注意不要把平移方向和平移距离弄错 变式探究
7、2 不论a a 0且a 1 取何实数 函数y p loga x q 的图象都经过定点 2 3 则p q 解析 依题意 即将y logax图象经过定点 1 0 平移到点 2 3 只需将y logax的图象向右平移1个单位长度 再向上平移3个单位长度即可 p 3 q 1 答案 31 考点三 对数函数与其他知识的综合 例3 已知函数f x log4 ax2 2x 3 1 若f 1 1 求f x 的单调区间 2 是否存在实数a 使f x 的最小值为0 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 1 f 1 1 log4 a 5 1 a 5 4 a 1 这时f x log4 x2 2x 3 由 x2
8、2x 3 0得 1 x 3 函数定义域为 1 3 令g x x2 2x 3 则g x 在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 又y log4x在 0 上单调递增 所以f x 的单调递增区间是 1 1 单调递减区间是 1 3 变式探究 3 2012 荆门 天门等八市联考 已知函数f x ax x b的零点x0 n n 1 n Z 其中常数a b满足2a 3 3b 2 则n等于 A 1B 2C 1D 2 解析 令g x ax t x x b 则f x g x t x 因此函数f x ax x b的零点问题转化为g x ax t x x b图象的交点问题 易知1 a 2 0 b 1 所以直线t x
9、x b与g x ax的交点应在y轴的左侧 排除C D 若n 1 g 1 a 1 1 t 1 1 b g 1 t 1 a 1 1 b log32 1 log32 1 0 即g 1 t 1 这说明x0 1 0 故选A 答案 A 考点四 与对数函数有关的新定义问题 例4 对于在区间 m n 上有意义的两个函数f x 与g x 如果对任意的x m n 均有 f x g x 1 则称f x 与g x 在 m n 上是接近的 否则称f x 与g x 在 m n 上是非接近的 现有两个函数f1 x loga x 3a 与f2 x loga a 0 a 1 给定区间 a 2 a 3 1 若f1 x 与f2 x
10、 在给定区间 a 2 a 3 上都有意义 求a的取值范围 2 讨论f1 x 与f2 x 在给定区间 a 2 a 3 上是否是接近的 2 构造函数F x f1 x f2 x loga x a x 3a 对于函数t x a x 3a 来讲 显然其在 2a 上单调递减 在 2a 上单调递增 且y logat在其定义域内一定是减函数 由于0 a 1 得0 2a 2 a 2 点评 该题属于信息给予的题目 考生首先要理解 接近 与 非接近 的含义 再对含有对数式的函数的是否 接近 进行研究 转化成含有对数因式的不等式问题 解不等式即可 变式探究 4 2012 惠州市一模 定义函数y f x x D 若存在
11、常数C 对任意的x1 D 存在唯一的x2 D 使得 C 则称函数f x 在D上的均值为C 已知f x lgx x 10 100 则函数f x lgx在x 10 100 上的均值为 A B C D 10 课时升华 1 指数函数值和对数函数值都受到底数a大小变化的影响 因此解题时常对底数a按01进行分类讨论 2 形如y af x a 0 a 1 的函数有如下性质 1 定义域与函数f x 的定义域相同 2 先确定函数u f x 的值域 然后以u的值域作为函数y au a 0 a 1 的定义域求得函数y af x a 0 a 1 的值域 3 形如y logaf x a 0 a 1 的函数有如下性质 1
12、 定义域是函数u f x 的定义域与不等式f x 0的解集的交集M 2 先确定函数u f x x M 的值域 然后以u的值域作为函数y logau a 0 a 1 的定义域求得函数y logaf x a 0 a 1 的值域 4 函数y ax m n和y n loga x m 的图象过定点问题 可用平移图象的方法解决 感悟高考 品味高考 1 2012 天津卷 已知a 21 2 b 0 8 c 2log52 则a b c的大小关系为 A c b aB c a bC b a cD b c a 解析 利用中间值判断大小 b 0 8 20 8 21 2 a c 2log52 log522 log55 1
13、 20 8 b 故c b a 答案 A 2 2011 山东卷 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n N 则n 2 高考预测 1 2012 大连市双基测试 为了得到函数y 3x的图象 可以把函数y x的图象 A 向左平移3个单位长度B 向右平移3个单位长度C 向左平移1个单位长度D 向右平移1个单位长度 解析 因为y 3x x 1 所以将y x的图象向右移1个单位长度即可 故选D 答案 D 2 2012 陕西师大附中等五校联考 已知函数f x ex 1 g x x2 4x 3 若存在f a g b 则实数b的取值范围为 A 1 3 B 1 3 C 2 2 D 2 2 解析 因为f x ex 1 1 若存在f a g b 则只需g b b2 4b 3 1即可 解得2 b 2 故选D 答案 D
