《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例课件 新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例课件 新人教A版必修1（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时指数型 对数型函数模型的应用举例 类型一指数型函数模型的应用实例 典例1 1 2017 菏泽高一检测 每次用同体积的水清洗一件衣物 且每次能洗去污垢的 若洗x次后存留的污垢在1 以下 则x的最小值是 2 设在海拔xm处的大气压强是yPa y与x之间的函数关系式是y cekx 其中c k为常量 已知某地某天在海平面的大气压为1 01 105Pa 1000m高空的大气压为0 90 105Pa 求600m高空的大气压强 结果保留3个有效数字 解题指南 1 根据题意建立指数函数模型求解 2 根据已有的函数模型 由题中条件先确定c k 进而可求出600m高空的大气压强 解析 1 每次洗去污垢的
2、就是存留了 故洗x次后 还有原来的 x N 故有100 解得x的最小值为3 答案 3 2 将x 0 y 1 01 105 x 1000 y 0 90 105分别代入函数式y cekx 得所以c 1 01 105 将c 1 01 105代入0 90 105 ce1000k 所以k 由计算器得k 1 15 10 4 所以y 1 01 105 将x 600代入上述函数式得y 1 01 105 由计算器算得y 0 943 105 所以600m高空的大气压强约为0 943 105Pa 方法总结 指数型函数模型在生活中的应用 1 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数
3、模型表示 通常可以表示为y N 1 p x 其中N为基础数 p为增长率 x为时间 的形式 2 增长率问题多抽象为指数函数形式 当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时 可以通过图象近似求解 用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围 是数学常用的方法之一 补偿训练 1 1 2017 金华高一检测 衣柜里的樟脑丸 会随着时间挥发而体积缩小 刚放入衣柜的新樟脑丸体积为a 经过t天后体积与天数t的关系式为V a e kt 若新樟脑丸经过50天后 体积变为a 若一个新樟脑丸体积变为a 则需经过的天数为 A 75B 100C 125D 150 2 某种商品进价为每个80元 零售价为每个100元
4、 为了促销 采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法 实践表明 礼品价格为1元时 销售量增加10 且在一定范围内 礼品价格为 n 1 元时 比礼品价格为n n N 时的销售量增加10 设未赠送礼品时销售量为m 写出礼品价格为n元时 利润yn 元 与n 元 的函数关系式 请你设计礼品的价格 以使商店获得最大利润 解析 1 选A 根据题意可知a a e 50k 所以 e 50k 所以 50k ln 令a a e kt 所以e kt kt ln 结合 式可知 t 75 故选A 2 当礼品价格为n元时 销售量为m 1 10 n件 故利润yn 100 80 n m 1 10 n 20 n m 1 1n 0
5、 n 20 n N 令yn 1 yn 0 即 19 n m 1 1n 1 20 n m 1 1n 0 解得n 9 所以y1 y2 y3 y9 y10 令yn 1 yn 2 0 即 19 n m 1 1n 1 18 n m 1 1n 2 0 解得n 8 所以y9 y10 y11 y12 y13 y19 所以礼品价格为9元或10元时 商店获得最大利润 2 某城市现在人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 计算10年后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年
6、 解题指南 解决这类题的关键是根据题意建立函数模型 解题流程为 审 设 列 解 答 即审题 设未知量 列出函数关系式 求解 作答 在求解过程中要注意所设未知量的实际意义 解析 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 3 故x年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 x 2 10年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 10 100 1 01210 112 7
7、万人 3 设大约n年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 n 120 n log1 012 log1 0121 20 15 3 故大约16年以后该城市人口将达到120万人 类型二对数函数模型的应用 典例2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的科学家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v 5log2 单位是m s 其中Q表示燕子的耗氧量 1 求燕子静止时的耗氧量是多少个单位 2 当一只燕子的耗氧量是80个单位时 它的飞行速度是多少 解题指南 1 燕子静止时的耗氧量即v 0时Q的值 2 两岁燕子的耗氧量是80个单位时 求它的飞行速度 即为当Q 80时v的值 解析 1 由题
8、意 当燕子静止时 它的速度v 0 代入题中给出的公式可得 0 5log2 解得Q 10 即燕子静止时的耗氧量是10个单位 2 将耗氧量Q 80代入题中给出的公式得 v 5log2 5log28 15 m s 延伸探究 1 本例中 函数v 5log2 若换为 v 5log2 其他条件不变 试求燕子静止时的耗氧量 解析 由题意 当燕子静止时 它的速度v 0 所以0 5log2 解得Q 100 则燕子静止时的耗氧量是100个单位 2 本例条件不变 则当燕子的飞行速度为v 5 m s 时的耗氧量是多少 解析 因为v 5log2 v 5 所以5log2 5 即log2 1 故 2 所以Q 20 方法总结
9、 对数函数应用题的基本类型和求解策略 1 基本类型 有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式 然后根据实际问题再求解 2 求解策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数 或给出具体情境 从中提炼出数据 代入解析式求值 然后根据数值回答其实际意义 补偿训练 载人飞船是通过火箭发射的 已知某型号火箭的起飞重量Mt是箭体 包括搭载的飞行器 的重量mt和燃料重量xt之和 在不考虑空气阻力的条件下 假设火箭的最大速度ykm s关于x的函数关系为y k ln m x ln m 4ln2 其中k 0 lnx是以e为底x的对数 当燃料重量为 1 mt时 该火箭的最大速度为4km s 1 求此型号火箭的最大
10、速度ykm s与燃料重量xt之间的函数解析式 2 若此型号火箭的起飞重量是479 8t 则应装载多少吨燃料 精确到0 1t 取e 2 718 才能使火箭的最大飞行速度达到8km s 顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道 解析 1 由题意 得4 k ln m 1 m ln m 4ln2 解得k 8 所以y 8 ln m x ln m 4ln2 8ln 2 由已知 得M m x 479 8 则m 479 8 x 将y 8代入 1 中所得式中 得8 8ln解得x 303 3 答 应装载303 3t燃料 才能使火箭的最大飞行速度达到8km s 顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道 类型三拟合型函数模型的应用 典
11、例3 2017 重庆高一检测 某学习小组在暑期社会实践活动中 通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现 该服装在过去的一个月内 以30天计 每件的销售价格P x 百元 与时间x 天 的函数关系近似满足P x 1 k为正常数 日销售量Q x 件 与时间x 天 的部分数据如下表所示 已知第10天的日销售收入为121 百元 1 求k的值 2 给出以下四种函数模型 Q x ax b Q x a x 25 b Q x a bx Q x a logbx 请你根据表中的数据 从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q x 件 与时间x 天 的变化关系 并求出该函数的解析式 3 求该服装的日销售收入f
12、x 百元 的最小值 解题指南 1 根据题中条件求k的值 2 选择一种函数模型 根据待定系数法求其解析式 3 借助 2 中函数解析式求其最值 解析 1 依题意知第10天的日销售收入为P 10 Q 10 110 121 解得k 1 2 由表中的数据知 当时间变化时 日销售量有增有减并不单调 故只能选 Q x a x 25 b 从表中任意取两组值代入可求得Q x 125 x 25 1 x 30 x N 3 由 2 知Q x 125 x 25 所以f x P x Q x 当1 x 25时 y x 在 1 10 上是减函数 在 10 25 上是增函数 所以当x 10时 f x 取得最小值 f x min
13、 121 当25 x 30时 y x为减函数 所以当x 30时 f x 取得最小值f x min 124 综上所述 当x 10时 f x 取得最小值f x min 121 所以该服装的日销售收入的最小值为121百元 方法总结 数据拟合问题的三种求解策略 1 直接法 若由题中条件能明显确定需要用的数学模型 或题中直接给出了需要用的数学模型 则可直接代入表中的数据 问题即可获解 2 列式比较法 若题所涉及的是最优化方案问题 则可根据表格中的数据先列式 然后进行比较 3 描点观察法 若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型 则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点 作出散点图 然后观察这些点的位
14、置变化情况 确定所需要用的数学模型 问题即可顺利解决 拓展延伸 数据拟合过程中假设的作用一般情况下数学建模 是离不开假设的 假设的作用主要表现在以下几个方面 1 进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用 通常初步接触一个问题 会觉得围绕它的因素非常多 经仔细分析筛选 发现有的因素并无实质联系 有的因素是无关紧要的 排除这些因素 问题则越发清晰明朗 在假设时对这些因素就不需考虑 2 降低解题难度 经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型 并且得到相应的解 3 一般情况下 是先在最简单的情形下组建模型 然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际 从而得到更满意的解 补偿训练 1 北京某
15、企业常年生产一种出口产品 根据需求预测 自从举办奥运会以来 前8年在正常情况下 该产品产量将平稳增长 已知2009年为第一年 前4年年产量f x 万件 如下表所示 1 画出2009 2012年该企业年产量的散点图 2 建立一个能基本反映 误差小于0 1 这一时期该企业年产量变化的函数模型 并求之 3 2016年 即x 8 因受到某国对我国该产品反倾销的影响 年产量应减少30 试根据所建立的函数模型 确定2016年的年产量为多少 解析 1 如图所示 2 由散点图知 可选用一次函数模型 设f x ax b 由已知得解得a 1 5 b 2 5 所以f x 1 5x 2 5 检验 f 2 5 5 5
16、58 5 5 0 08 0 1 f 4 8 5 8 44 8 5 0 06 0 1 所以一次函数模型f x 1 5x 2 5能基本反映年产量变化 3 f 8 1 5 8 2 5 1 30 10 15 2016年的年产量应为10 15万件 2 某个体经营者把开始六个月试销A B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品 但不知投入A B两种商品各多少万元才合算 请你帮助制定一个资金投入方案 使得该经营者能获得最大利润 并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润 结果保留两位有效数字 解题指南 制定投资方案时 首先应确定好两种商品的投资金额与纯利润之间的函数关系 而题目未明确给出其满足的函数关系 仅仅给定了两个表格阐明两者之间的数量关系 很难看出其满足的函数模型 因此可画出对应的散点图 根据散点图的特征找到其满足的函数关系 解析 以投资额为横坐标 纯利润为纵坐标 在平面直角坐标系中画出散点图 如图所示 观察散点图可以看出 A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟 如图 所示 取 4 2 为最高点 则y a x
