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1、2020 6 4 2020 6 4 1 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合 或轨迹 是圆 定点叫做圆心 定长叫做圆的半径 要点 疑点 考点 2 圆的标准方程 设圆心C a b 半径为r 则标准方程为 x a 2 y b 2 r2 特殊情形 当圆心在原点 0 0 时 圆的方程为x2 y2 r2 3 圆的一般方程 当D2 E2 4F 0时 方程x2 y2 Dx Ey F 0叫做圆的一般方程 此时圆心为 半径 2020 6 4 4 二元二次方程表示圆的充要条件 要点 疑点 考点 5 圆的参数方程 即 1 x2 y2系数相同 且不等于零 2 没有xy这样的二次项 3 D2 E2 4AF 0
2、2020 6 4 1 2004年高考 重庆 求圆x2 y2 2x 4y 3 0的圆心到直线x y 1的距离是 A 2B C 1D 基础题分析 D 2020 6 4 基础题分析 C 2020 6 4 基础题分析 3 圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于两点A 0 4 B 0 2 则圆C的方程为 2020 6 4 基础题分析 3 圆心在直线2x y 7 0上的圆C与y轴交于两点A 0 4 B 0 2 则圆C的方程为 2020 6 4 基础题分析 4 已知点P x y 为圆x2 y2 4上的动点 则x y的最大值为 2020 6 4 基础题分析 4 已知点P x y 为圆x2 y2 4上的动
3、点 则x y的最大值为 2020 6 4 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 求圆的方程有两类方法 1 几何法 通过研究圆的性质 直线和圆 圆与圆的位置关系 进而求得圆的基本量和方程 2 代数法 即用 待定系数法 求圆的方程 其一般步骤是 根据题意选择方程的形式 标准形式或一般形式 利用条件列出关于a b r或D E F的方程组 解出a b r或D E F 代入标准方程或一般方程 另外 根据条件先尽量减少变元设方程 可减少运算量 2020 6 4 能力 思维 方法 20
4、20 6 4 能力 思维 方法 解题回顾 在解答中 采用了对直线与圆的交点 设而不求 的解法技巧 由于 OP OQ 即等价于 xPxQ yPyQ 0 所以最终应考虑应用根与系数关系求m 另外 在使用 设而不求 的技巧时 必须注意这样的交点是否存在 2020 6 4 能力 思维 方法 变式题1 换OP OQ为以PQ为直径的圆过原点 解 以PQ为直径的圆过原点O OP OQ OP OQ 2020 6 4 3 求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且面积最小的圆的方程 解 因为通过两个交点的动圆中 面积最小的是以此两交点为直径端点的圆 则有 解方程组 得交点 所以圆心坐标
5、为 半径为 故所求圆方程为 能力 思维 方法 2020 6 4 4 求圆关于直线对称的圆点方程 解 圆方程可化为 圆心C 2 6 半径为1 设对称圆圆心为 则与C 2 6 关于直线对称 因此有 解得 故所求圆方程为 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 2020 6 4 解 已知方程表示圆的充要条件是 即 解得 故当时 方程表示圆 设圆心为C x y 则 消去m 得 由 得x m 3 所求方程为 2020 6 4 求轨迹方程的一般步骤 建系设动点 列出几何等式 坐标转化几何等式得出方程 化简方程 除去不符合题意的点 作答 2020 6 4 解 设M的坐标为 x y 点M的轨迹是
6、以 6 0 为圆心 2为半径的圆 由中点坐标公式得 点P的坐标为 2x 12 2y 2x 12 2 2y 2 16 即M的轨迹方程为 x 6 2 y2 4 点P在圆x2 y2 16上 6 如图 已知点P是圆x2 y2 16上的一个动点 点A是x轴上的定点 坐标为 12 0 当点P在圆上运动时 线段PA中点M的轨迹是什么 能力 思维 方法 2020 6 4 能力 思维 方法 拓展 2020 6 4 方法总结 与圆有关的最值问题 2020 6 4 课堂小结 1 用待定系数法求圆的方程的步骤 1 设所求圆的方程为标准式或一般式 2 列出关于a b r或D E F的方程组 3 解方程组 求出a b r或D E F的值 代入所设方程 就得要求的方程 2 关于何时设圆的标准方程 何时设圆的一般方程 一般说来 如果由已知条件容易求圆心的坐标 半径或需要用圆心的坐标 半径列方程的问题 往往设圆的标准方程 如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系 往往设圆的一般方程
