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1、第2讲 对数及对数函数知识梳理对数的概念如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=bab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.二、对数的运算性质loga（MN）=logaM+logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）三、对数换底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.四、对数函数的图像及性质函数y=logax（a0，a1）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下对数函数的性质：定义域：（0，+）； 值域：R； 过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在
2、（0，+）上是减函数。五、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点：1对数函数性质的拓展（）同底数的两个对数值与的大小比较若，则若，则（）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1），（2），（3），（4）则作直线得即图象在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2常见对数方程或对数不等式的解法（1）形如转为，但要注意验根对于，则当时，得；当时，得（2）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。（3）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的
3、单调性来解决热点考点题型探析考点1 对数式的运算例1（湛江市09届高三统考）已知用表示 解题思路应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示解析名师指引 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命题新题导练1（高州中学09届月考）的结果是 解析1；2（中山市09届月考）若，求的值 解析 ； 3（广东吴川市09届月考）如果，那么的最小值是（ ）A4；B；C9；D18解析18；由得，所以，又由题知从而，当且仅当时取“=”考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值例2 函数ylog2ax1（a
4、0）的图象的对称轴方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2解题思路由于函数图象的对称轴方程是x2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用f（0）=f（4），可得0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1或4a+1=1.a0，a=.故选B名师指引函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基本的对称。题型2：求复合函数值域及单调区间例3 已知f（x）=log3(x1)2，求f（x）的值域及单调区间.解题思路通过研究函数f（x）的单调性解析 真数3(x1)23，log3(x1)2log3=1，即f（x）的值域是1，+）.又3(x1)20，得1x1+，x（1，1时，3(x
5、1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x1，1+）时，3(x1)2单调递减，f（x）单调递增.名师指引对数函数与二次函数的复合函数的最值（值域）与单调性是常考知识点，解决的办法就是充分利用组成复合函数的各个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。新题导练4（东皖高级中学09届月考）若函数是定义域为R的增函数，则函数的图象大致是 （ ）解析 D；由函数是定义域为R的增函数知，所以函数在上的减函数，将的图象向左平移一个单位即得的图象，故应选D5（09年山东济宁）设，函数的图象如图2，则有 A；BC；D解析 A；由图知，并且由图象知的图象是由的图象向下平移得到的，故考点3 指数、对数函数的综合应用
6、题型1：利用对数函数的复合函数的单调性求值域 例4 已知x满足, 函数y的值域为, 求a的值解题思路欲求a的值就设法寻找a的等式，但是这里没有等式，我们应该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a的不等式组解析 由由y, 当时, 为单调增函数, 且,此时a的值不存在. 当时, 为单调减函数,，.名师指引对数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用.题型2：指数函数与对数函数的反函数关系例5设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调
7、递增区间为（ ）A.0，+）；B.（，0；C.0，2）；D.（2，0解题思路 先根据对数函数与指数函数互为反函数写出函数f（x）的表达式，然后再研究复合函数的单调性求其单调递增区间解析显然，从而得，其定义域为.时，单调递增；时，单调递减.故选C名师指引 对数函数与指数函数是一对特殊的基本初等函数，它们互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，高考中时有涉及新题导练5（执信中学09届月考）已知，则的大小关系是（ ）A B C D解析 C；由于，所以应选择C6.（四会中学09年月考）若，则（ ）A；B；C；D 解析 C；由得，从而，备选例题 （广东实验中学09届月考）若函数的定义域为M。当时，求的
8、最值及相应的x的值。解析，解得：， = ， f(x)= （）由二次函数性质可知：； 当 综上可知：当f(x)取到最大值为，无最小值。抢分频道基础巩固训练：1（1）；（2）_解析（1）1；（2）；2已知，则= 解析3；由得，所以3(2020全国)函数的图像与函数的图像关于直线对称，则_。解析；由题意知，是函数的反函数，故 4（广州市09届高三年级第一学期中段考）若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个；B. 4个；C. 3个；D. 多于4个解析 A；由知是周期为2的函数，又时, 由是偶函数和周期性，在同一坐标系中作出和的图象，可知它们的图象有两个交点，故方程的零点个数是25设，则x属
9、于区间（ ）A（2，1）；B（1，2）；C（3，2）；D（2，3）解析 D；因为，而，所以x属于（2，3）综合提高训练：6（潮州金山中学09届高三检测）若点在第一象限且在上移动，则（ ） A最大值为1；B最小值为1；C最大值为2；D没有最大、小值解析 A；依题意知，因为，所以当且仅当时取到“=”，故应选A7（湛江市09届统测）给出四个函数图象分别满足：与下列函数图象对应的是（ ） A B. C. D. 解析 D；显然满足的函数应是这种类型，故图象应是；满足应该是指数函数，故图象应是；满足的应是对数函数，故图象应是；满足的应是幂函数，就本题而言，其图象应是8（深圳翠园、宝安中学09届联考）下列表
10、中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 解析lg15=3a-b+c；如果，则可见，是错误的，那么也是错误的，这与题意矛盾；反过来，也不是错误的，否则是错误的；同样，如果，则，如果是错误的，那么也错误，这与题意矛盾；显然也不是错误的，否则也错误；所以，所以应将最后一个错误的改正为9（重庆南开中学09届模拟）函数，若（其中、均大于），则的最小值为 （ ）A；B；C；D解析 B；由得，从而得，所以10已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围；解析（1）或；（2）依题意对一切恒成立当时，必须有，即或当时，当时，满足题意，当时不合题意故或依题意，只要能取到的任何值，则的值域为，故有，即又当时，即，当时符合题意，当时，不合题意故
