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1、导数及其应用一、选择题1(2020年高考福建卷)(ex2x)dx等于()A1 Be1Ce De1解析:选C.(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.2若f(x)x22x4ln x,则f(x)0的解集为()A(0,) B(1,0)(2,)C(2,) D(1,0)解析:选C.由题意知x0,且f(x)2x2,即f(x)0,x2x20,解得x1或x2.又x0,x2.3函数f(x)的导函数为f(x),若(x1)f(x)0,则下列结论中正确的是()Ax1一定是函数f(x)的极大值点Bx1一定是函数f(x)的极小值点Cx1不是函数f(x)的极值点Dx1不一定是函数f(x)的极值点解析:选D
2、.由题意,得x1,f(x)0或x1,f(x)0,但函数f(x)在x1处未必连续,即x1不一定是函数f(x)的极值点,故选D.4曲线y在点M处的切线的斜率为()A B.C D.解析:选B.y,故y,曲线在点M处的切线的斜率为.5由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4C. D6解析:选C.由,得其交点坐标为.因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为dxdx81624.二、填空题6函数f(x)x2cos x在区间0,上的单调递减区间是_解析:f(x)12sin x,令f(x)0,即12sin x0,所以sin x.又x0,所以x,即函数f(x)的单调递减区间是.答案:7设aR,
3、若函数yexax,xR有大于零的极值点,则a的取值范围是_解析:yexa,问题转化为“方程exa0有大于零的实数根”,由方程解得xln(a)(a0,即a1.答案:a0,函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)若曲线yf(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,求a的值;(2)当0a0,f(x)x(a1).因为曲线yf(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)1.即2(a1)1,所以a4.(2)f(x)x(a1),因0a0,函数f(x)单调递增;当x(a,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点,x1是f(x)的极小值点10已知函数f(x)x2axbln
4、x(x0,实数a,b为常数)(1)若a1,b1,求函数f(x)的极值;(2)若ab2,且b1,讨论函数f(x)的单调性解:(1)函数f(x)x2xln x,则f(x)2x1,令f(x)0,得x11(舍去),x2.当0x时,f(x)时,f(x)0,函数单调递增;f(x)在x处取得极小值ln 2.(2)由于ab2,则a2b,从而f(x)x2(2b)xbln x,则f(x)2x(2b),令f(x)0,得x1,x21.当0,即b0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,);当01,即0b0),其导函数yh(x)的图象如图所示,f(x)ln xh(x) (1)求函数f(x)在x1
5、处的切线斜率;(2)若函数f(x)在区间上是单调函数,求实数m的取值范围;(3)若函数y2xln x(x1,4)的图象总在函数yf(x)的图象的上方,求c的取值范围解:(1)由题知,h(x)2axb,其图象为直线,且过A(2,1)、B(0,3)两点,解得.h(x)x23xc.f(x)ln x(x23xc)x23xcln x.f(x)2x3,f(1)230,所以函数f(x)在x1处的切线斜率为0.(2)由题意可知,函数f(x)的定义域为(0,),由(1)知,f(x)2x3.令f(x)0,得x或x1.当x变化时,f(x)、f(x)随x的变化情况如下表:x1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的单调递增区间为,(1,)f(x)的单调递减区间为.要使函数f(x)在区间上是单调函数,则,解得x23xcln x在x1,4上恒成立,即当x1,4时,cx25x2ln x恒成立设g(x)x25x2ln x,x1,4,则cg(x)max.易知g(x)2x5.令g(x)0得,x或x2.当x(1,2)时,g(x)0,函数g(x)单调递增而g(1)12512ln 14,g(4)42542ln 444ln 2,显然g(1)44ln 2.c的取值范围为(44ln 2,)