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1、专题对点练19统计与统计案例专题对点练第29页1.(2017四川成都二诊,理18)某项科研活动共进行了5次试验,其数据如下表所示:特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552y601605597599598(1)从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据,求至少有一个大于600的概率;(2)求特征量y关于x的线性回归方程y=bx+a,并预测当特征量x=570时特征量y的值.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-b x解 (1)从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据,共有C52=10种
2、方法,都小于600,有C32=3种方法,故至少有一个大于600的概率为710=0.7.(2)x=556,y=600,b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=0.3,a=y-bx=433.2,y=0.3x+433.2,当x=570时,y=604.2,即当特征量x为570时,特征量y的值为604.2.2.(2017福建福州一模,理18)在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次国际风帆比赛中,前7场比赛结束后,排名前8名的选手积分如表:运动员比赛场次总分1234567891011A322242621B1351104428C9861
3、11228D784431835E3125827542F4116936847G10121281210771H12126127121273(1)根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;(2)从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2名运动员进行兴奋剂检查,求至少1名运动员平均分不低于5分的概率;(3)请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.解 (1)由表格中的数据,我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据.运动员A的平均分x1=1721=3,方差s12=17(3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2
4、-3)2+(4-3)2+(6-3)2=2;运动员B的平均分x2=1728=4,方差s22=17(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2=8,从平均分和积分的方差来看,运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小,也就是说,在前7场比赛过程中,运动员A的成绩较为优秀,且表现也较为稳定.(2)表中平均分低于6.5分的运动员共有5名,其中平均分低于5分的运动员有3名,平均分不低于5分且低于6.5分的运动员只有2名,从这5个数据中任取2个,基本事件总数n=10,从3名运动员中任取2人的事件数为3,至少1名运动员平均分不低于5分的对立事件是取到
5、的两人的平均分都低于5分,故至少1名运动员平均分不低于5分的概率P=1-310=710.(3)尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的7场比赛的积分来看,运动员A的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A运动员获得最后的冠军,而运动员B和C平均分相同,但运动员C得分整体呈下降趋势,所以预测运动员C将获得亚军.3.某中学共有4 400名学生,其中男生有2 400名,女生有2 000名.为了解学生的数学基础的差异,采用分层抽样的方法从全体学生中选取55名同
6、学进行数学试卷成绩调查,得到男生数学试卷成绩的频率分布直方图和女生数学试卷成绩的频数分布表.男生数学试卷成绩的频率分布直方图女生数学试卷成绩的频数分布表成绩分组75,90)90,105)105,120)120,135)135,150频数2687b(1)计算a,b的值,以分组的中点数据为平均数据,分别估计该校男生和女生的数学平均成绩;(2)若规定成绩在120,150内为数学基础优秀,由以上统计数据填写下面的22列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男、女生的数学基础有差异.男生女生总计优秀不优秀总计参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中
7、n=a+b+c+d.临界值表:P(K2k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解 (1)在选取的55名同学中,男生有2 4004 40055=30(人),女生有2 0004 40055=25(人).由男生数学试卷成绩的频率分布直方图知,15(3a+4a+9a+11a+3a)=1,解得a=1450.由女生数学试卷成绩的频数分布表知,2+6+8+7+b=25,解得b=2.用样本估计该校男生的数学平均成绩为130(382.5+1197.5+9112.5+4127.5+3142.5)=109(分),用样本估计该校女生的数学平均成绩为125(282.5+697.5+8112.5+
8、7127.5+2142.5)=113.1(分).(2)表格填写如下:男生女生总计优秀7916不优秀231639总计302555由公式得K2=55(716-239)2163930251.0612.706,在犯错误的概率不超过0.1的前提下,不能认为男、女生的数学基础有差异.4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18
9、(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估
10、计分别为=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.解 (1)由散点图可以判断y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.因为d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-dw=563-686.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(3)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
