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1、高一数学高一数学 函数函数的图象的图象人教版人教版 sin xAy 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 函数的图象 sin xAy 二 重点 难点 重点 用五点法画函数的简图及三角函数的图象变换 sin xAy 难点 三角函数的图象变换 典型例题典型例题 例 1 作出函数在一个周期内的简图 3 2sin 2 xy 分析 分析 已知一般的正弦型函数的解析式作函数的图象有两种方kxAy sin 法较常用 一种是 五点法 即在一个周期内先描出五个特殊点 即始点 P1 峰点 P2 拐 点 P3 谷点 P4和末点 P5 然后用平滑的曲线就可描出图象 另一种作图方法是利用图象的 平移变换和伸缩变换
2、由变为的图象 xysin kxAy sin 解 解 函数的周期列表 有 3 2sin 2 xy 2 2 T x 6 12 5 3 2 12 11 6 7 3 2 x 0 2 2 3 2 3 2sin 2 xy 0202 0 描点作图 得 y 6 5 12 11 12 6 7 2 3 0 x 另解 另解 利用图象变换由得的途径有两种 xysin 3 2sin 2 xy 1 先平移 先把图象上所有的点向右平移个单位长度 得到的图象 xysin 3 3 sin xy 再把所得各点横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到的图象 再 2 1 3 2sin xy 把所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍
3、横坐标不变 得到的 3 2sin 2 xy 图象 2 先伸缩 先把图象上各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到xysin 2 1 的图象 再把所得图象上各点向右平移个单位长度 得到xy2sin 6 的图象 再把所得各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 便得函数 3 2sin xy 的图象 3 2sin 2 xy 例 2 如图为函数 在一个周期内的简图 sin xAy 2 0 0 A 求其相应的函数表达式 并说明它是经过怎样的变换得到的 xysin x y 0 12 6 5 12 11 12 2 2 分析 分析 求函数解析式 即确定解析式中 A K 这四个KxAy sin 常数 方法有 1 求振
4、幅 A 2 1 42 yyA 2 求周期 T 或或 15 xxT 2 13 xxT 4 12 xxT 3 求 0 T 2 4 求 或或或或 1 x 2 2 x 3 x 2 3 4 x 2 5 x 5 求纵向位移 B 531 yyyK y x0 P1 P2 P3 P4 x1 y1 y2 x2x3 P5 x4 x5 解 解 周期 故 12 12 11 T2 22 T 易见振幅 A 2 将点代入 得 0 12 2sin 2 xy0 6 sin 又 得 6 Zkk 2 6 另法 6 12 2 12 故有函数表达式为 6 2sin 2 xy 利用图象变换 由图象向左平移个单位长度得到图象 再xysin
5、6 6 sin xy 把所得各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得图象 再把所得 2 1 6 2sin xy 各点纵坐标伸长到原来的 2 倍 即得函数的图象 6 2sin 2 xy 例 3 已知函数图象上每个点的纵坐标保持不变 将横坐标伸长到原来 xfxfy 的 2 倍 然后再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位 得到曲线与图象相同 2 xysin 2 1 则的表达式为 xfy A B 22 1 sin 2 1 xy 2 2sin 2 1 xy C D 22 1 sin 2 1 xy 2 2sin 2 1 xy 分析 分析 此题为由复杂函数经过变换得出简单函数的问题 思路有两种 一是从简单函
6、数出发实施相反逆运算即可得复杂函数的解析式 二是直接从出发进行变换 xfy 解法解法 1 1 的图象向右平移个单位长度得到图象 再把xysin 2 1 2 2 sin 2 1 xy 该图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍 即得到函数的图象 此即 2 1 2 2sin 2 1 xy 的解析式 xfy 解法解法 2 2 把依题设要求先得图象 再得的图象 xfy 2 x fy 2 2 1 xfy 故xxfsin 2 1 2 2 1 设 则 则 2 2 1 xt 2 2 tx 故 2 2sin 2 1 ttf 2 2sin 2 1 xxf 解法解法 3 3 设 依题设条件先得的图象 再得 sin xAx
7、f 2 sin xAy 的图象 由于 2 2 sin xAyxxAsin 2 1 2 2 sin 比较系数 得 0 2 1 2 2 1 A 即 故函数表达式为 2 2 2 1 A 2 2sin 2 1 xy 例 4 函数的图象的一条对称轴的方程是 2 5 2sin xy A B 2 x 4 x C D 91 全国高考 8 x 4 5 x 分析 分析 对于函数 它有无穷多对称轴 即BxAy sin 2 Zkkx 有无穷多对称中心 其坐标为 B k 解 解 22 5 2Zkkx 2 22 k x kx 取 得 故选 A 1 k 2 x 另法 另法 xxxy2cos 2 2sin 2 5 2sin
8、对于函数它的对称轴方程为BxAy cos Zkkx 它的对称中心为 0 2 Zk k 由 得 kx 2 2 Zk k x 取 得对称轴 取 A1 k 2 x 例 5 函数的图象的一条对称轴的方程是 2 2cos xy A B C D 上海 93 高 2 x 4 x 8 x x 考 解 解 由xx2sin 2 2cos 令 422 2 k xkx 取 得1 k 4 x 例 6 函数在区间上是增函数 且 0 sin xMxf baMaf 则在上 Mbf cos xMxg ba A 是增函数B 是减函数 C 可以取得最大值 MD 可以取得最小值 99 全国高考 M 解法解法 1 1 取 则有0 1
9、M 取 此时在 即xxgxxfcos sin 2 2 ba xg ba 上既不是增函数也不是减函数 且取得最大值 1 因而排除 A B D 而得 C 2 2 解法解法 2 2 由在上是增函数 故 即 且 xf ba bfaf MM 0 M 又由 则MbfMaf 2 2 ka 2 2Zkkb 又 当时 0 bax 2 2 2 2 kkx Zk 对于 当时 有最大值 故 bax 2Zkkx cos xMxg 选 C 0 x M M y Mcos x y Msin x ab 模拟试题模拟试题 1 关于函数 有以下命题 3 2sin 4 Rxxxf 1 可得必是的整数倍 0 21 xfxf 21 xx
10、 2 的表达式可改写为 xfy 6 2cos 4 xy 3 的图象关于点对称 xfy 0 6 4 的图象关于直线对称 其中正确命题的序号是 xfy 6 x 2 已知函数的图象上有一个最低点 将图象上每点纵cxbxay cossin 1 6 11 坐标不变 横坐标缩小到原来的倍 然后向左平移 1 个单位得到的图象 且 3 xfy 的所有正根依次为一个公差为 3 的等差数列 求的解析式 最小正周期和3 xf xf 单减区间 试题答案试题答案 1 解 1 取 有 但即 3 6 21 xx0 21 xfxf 236 21 xx x 的整数倍 故 1 错 2 3 2 2 cos 4 3 2sin 4 x
11、xxf 故 2 正确 6 2cos 4 2 6 cos 4 xx 3 令得 取 则 即关于 26 2Zkkx 32 k x1 k 6 x 点对称 故 3 正确 0 6 4 对称轴为 得 3 2sin 4 xxf 23 2Zkkx 122 k x 不论 k 取何整数 x 均不等于 4 不正确 6 综上 2 3 正确 2 解 其中 且与点同象限 由cxbay sin 22 a b tan ba 是图象上最低点 故 1 6 11 1 2 2 6 11 22 cba k 1 3 7 2 22 cba Zkk 故 即ckxcy 3 7 2sin 1 cxcy 3 sin 1 图象横坐标缩小倍 得 3 c
12、xcy 33 sin 1 再向左平移 1 个单位得cxcy 3 1 3 sin 1 即 故cxcxfy 3 sin 1 6 T 由的所有正根依次等差 即曲线与直线相邻交点距离都相等 3 xf xfy 3 y 由三角函数性质 直线要么过曲线拐点 要么与相加 即过最高点3 y xfy xf 或最低点 注意到是图象上最低点 故当与曲线在最高点相交 1 6 11 3 y xfy 当时 故 此时 公差应为一个周期 即为 6 与已1 3 sin x 312 cxf2 c 知值矛盾舍去 过曲线拐点时 当时 有 此时公差 3 恰为周期0 3 sin x 3 cxf 6 的一半 符合题意 故 又由 得3 3 sin2 xxf 2 3 2 32 2 kxk 即函数减区间为 2 9 6 2 3 6 kxk xf 2 9 6 2 3 6 Zkkk
