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1、动态模型 描述对象特征随时间 的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究对象特征的控制手段 求解微分方程 并进行结果解释 微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 第3章微分方程模型 3 1传染病模型 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高峰到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型 背景与问题 传染病的极大危害 艾滋病 SARS 基本方法 时刻t已感染人数 病人 i t 每个病人每天 有效接触 足以使人致病 人数为 模型1 假设 若有效
2、接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 模型2 tm 传染病高峰到来时刻 日接触率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 模型3 传染病无免疫性 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数 称为接触数 模型3 接触数 1 阈值 感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数 1 i0 1
3、1 接触数 感染期内每个病人的有效接触人数 模型4 传染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 需建立的两个方程 模型4 SIR模型 用MATLAB求数值解 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 日接触率 卫生水平 日治愈率 医疗水平 传染病不蔓延的条件 s0 1 降低s0 提高r0 提高阈值1 模型4 预防传染病蔓延的手段 降低日接触率 提高日治愈率 提高移出比例r0 以最终未感染比例s 和病人比例最大值im为度量指标 s0 r0 传染病模型 模型1 模型2 SI 模
4、型3 SIS 模型4 SIR 模型3 4 描述传播过程 分析变化规律 预报高峰时刻 预防蔓延手段 3 2经济增长模型 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 建立产值与资金 劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配 使投资效益最大 调节资金与劳动力的增长率 使经济 生产率 增长 1 道格拉斯 Douglas 生产函数 产值Q t F为待定函数 资金K t 劳动力L t 技术f t f0 常数 模型假设 静态模型 每个劳动力的产值 每个劳动力的投资 z随着y的增加而增长 但增长速度递减 1 Douglas生产函数 Douglas生产函数 产值Q 资金K 劳动力L 技术f0 资金在产值中的份
5、额 1 劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯 Douglas 生产函数 1 Douglas生产函数 单位资金创造的产值 单位劳动力创造的产值 w r K L 求资金与劳动力的分配比例K L 每个劳动力占有的资金 使效益S最大 资金和劳动力创造的效益 资金来自贷款 利率r 劳动力付工资w 2 资金与劳动力的最佳分配 静态模型 3 经济 生产率 增长的条件 动态模型 要使Q t 或Z t Q t L t 增长 K t L t 应满足的条件 模型假设 投资增长率与产值成正比 用一定比例扩大再生产 劳动力相对增长率为常数 Bernoulli方程 3 经济增长的条件 产值Q t 增长 3 经济增长的条
6、件 劳动力相对增长率 每个劳动力的产值Z t Q t L t 增长 3 经济增长的条件 稳定性模型 对象仍是动态过程 而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 3 3军备竞赛竞赛 描述双方国家军备竞赛过程 解释 预测 双方军备竞赛的结局 假设 1 由于相互不信任 一方军备越大 另一方军备增加越快 2 由于经济实力限制 一方军备越大 对自己军备增长的制约越大 3 由于相互敌视或领土争端 每一方都存在增加军备的潜力 进一步假设 1 2 的作用为线性 3 的作用为常数 目的 建模 军备竞赛的结局 x t 甲方军备数量
7、 y t 乙方军备数量 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 p 0且q 0 p 0或q 0 记系数矩阵 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点 x0 y0 稳定的条件 模型 军备竞赛 模型的定性解释 双方军备稳定的条件 双方经济制约大于双方军备刺激时 军备竞赛才会稳定 否则军备将无限扩张 平衡点 2 若g h 0 则x0 y0 0 在 kl下x t y t 0 即友好邻国通过裁军可达到永久和平 如 美 加 模型 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 模型的定性解释 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h
8、 本方军备竞赛的潜力 模型 3 在初始时刻 x y 0 此时 若g h不为零 则x和y都不会保持为0 即便双方一时和解 也会重整军备 4 即使某时一方 由于战败或协议 军备大减 如x t 0 也会因使该方重整军备 即存在互不信任 或固有争端 的单方面裁军不会持久 如 一战后的德国 模型的定性解释 本方经济实力的制约 k l 对方军备数量的刺激 g h 本方军备竞赛的潜力 模型 3 4种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存 它们之间的关系 相互竞争 相互依存 弱肉强食 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时 常见的结局是 竞争力弱的灭绝 竞争力强的达到环境容许的最大容量 建立数学
9、模型描述两个种群相互竞争的过程 分析产生这种结局的条件 模型假设 有甲乙两个种群 它们独自生存时数量变化均服从logistic规律 两种群在一起生存时 乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比 甲对乙有同样的作用 对于消耗甲的资源而言 乙 相对于N2 是甲 相对于N1 的 1倍 模型 模型分析 平衡点及其稳定性 模型 判断P0 x10 x20 稳定性的方法 平衡点P0稳定 p 0且q 0 平衡点P0不稳定 p 0或q 0 仅当 1 21时 P3才有意义 模型 平衡点稳定性分析 平衡点Pi稳定条件 p 0且q 0 种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 2 1 1 1 1 1 2 1 P1 P2是一个
10、种群存活而另一灭绝的平衡点 P3是两种群共存的平衡点 1 1 2 1 P4不稳定 稳定条件 结果解释 对于消耗甲的资源而言 乙 相对于N2 是甲 相对于N1 的 1倍 P1 N1 0 稳定的条件 11 2 1 甲的竞争力强 甲达到最大容量 乙灭绝 P2 0 N2 稳定的条件 1 1 2 1 P3稳定的条件 1 1 2 1 3 5种群的相互依存 种群甲可以独自生存 种群乙不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生 受粉的植物与授粉的昆虫 以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存 而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率 人类与人工饲养的牲畜 模
11、型假设 甲可以独自生存 数量变化服从logistic规律 甲乙一起生存时乙为甲提供食物 促进增长 乙不能独自生存 甲乙一起生存时甲为乙提供食物 促进增长 乙的增长又受到本身的阻滞作用 服从logistic规律 模型 乙为甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲为乙提供食物是乙消耗的 2倍 种群依存模型的平衡点及稳定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点 不稳定 结果解释 2 1 甲必须为乙提供足够的食物 11条件下 1 2 1成立 1必须足够小 限制乙向甲提供食物 防止甲过分增长 P2稳定 甲乙相互依存 条件 甲可以独自生存 乙不能独立生存 乙为甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲为乙提供食物是乙消耗的 2倍
12、11 1 2 1 甲乙两种群的相互依存还有其他形式 种群甲可以独自生存 种群乙不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 甲乙均可以独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 甲乙均不能独自生存 甲乙一起生存时相互提供食物 促进增长 种群的相互依存 3 6种群的弱肉强食 食饵 捕食者模型 种群甲靠丰富的天然资源生存 种群乙靠捕食甲为生 形成食饵 捕食者系统 如食用鱼和鲨鱼 美洲兔和山猫 害虫和益虫 模型的历史背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降 食用鱼和鲨鱼同时捕捞 但是其中鲨鱼的比例却增加 为什么 食饵 甲 数量x t 捕食者 乙 数量y t 甲独立生存的增长率r 乙使甲
13、的增长率减小 减小量与y成正比 乙独立生存的死亡率d 甲使乙的死亡率减小 减小量与x成正比 方程 1 2 无解析解 食饵 捕食者模型 Volterra a 捕食者掠取食饵能力 b 食饵供养捕食者能力 Volterra模型的平衡点及其稳定性 平衡点 稳定性分析 P点稳定性不能判定 p 0 q 0P 临界状态 q 0P 不稳定 用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x y平面上的相轨线 模型解释 r 食饵增长率 d 捕食者死亡率 b 食饵供养捕食者能力 捕食者数量 食饵数量 a 捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比 与a成反比 食饵数量与d成正比 与b成反比 模型解释 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降 但是其中鲨鱼的比例却在增加 为什么 r r 1 d d 1 捕捞 战时捕捞 r r 2 d d 2 2 1 食饵 鱼 减少 捕食者 鲨鱼 增加 自然环境 还表明 对害虫 食饵 益虫 捕食者 系统 使用灭两种虫的杀虫剂 会使害虫增加 益虫减少 食饵 捕食者模型 Volterra 的缺点与改进 Volterra模型 多数食饵 捕食者系统不能保证平衡点稳定 有稳定平衡点 两种群模型的几种形式 相互竞争 相互依存 弱肉强食
