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1、1.1 一质点在 Oxy 平面内运动，运动方程为 )SI(53 tx ， )SI(432/2 tty 。（ 1）以时间 t 为变量，写出质点位矢的表达式；（ 2）求出质点速度分量的表达式，并计算s4t 时，质点速度的大小和方向；（ 3）求出质点加速度分量的表达式，并计算出 s4t 时，质点加速度的大小和方向。 解：（ 1） )SI(53 tx ， )SI(432/2 tty 质点位矢的表达式为： jttitjyixr )432/()53( 2 ； （ 2） m /s3)53( tdtddtdxv x ， m / s)3()432/( 2 tttdtddtdyv y s4t ， m/s3xv ，
2、 m/s7yv ， m / s6.7m / s5822 yx vvv 设 是 v 和 xv 的夹角，则 37tan xyvv， 8.66 ； （ 3） 2m /s0)3( dtddtdva xx ， 2m /s1)3( tdtddtdva yy s4t ， 2m/s0xa ， 2m/s1ya ， 222 m /s1 yx aaa 方向沿 y 轴方向。 1.2 质点在 Oxy 平面内运动，运动方程为 )SI(3tx ， )SI(2 2ty 。（ 1）写出质点运动的轨道方程；（ 2） s2t 时，质点的位矢、速度和加速度。 解： （ 1）质点运动方程 )SI(3tx ， )SI(2 2ty ， 质
3、点运动的轨道方程为： 9/2)3(2 22 xxy 或 2189 xy ； （ 2） jtitjyixr )2()3( 2 ， s2t 时： jir 26 jtiv 23 ， s2t 时： jiv 43 ja 2 ， s2t 时： ja 2 1.3 质点沿直线运动，其坐标 x 与时间 t 有如下关系： )SI(co s tAex t （ A 和 皆为常量）。（ 1）求任意时刻质点的加速度；（ 2）质点通过原点的时刻 t 。 解：（ 1） )SI(co s tAex t ， )s i nc o s(- A et)c o sAe( -t- ttdtddtdxv tx ， s i n2c o s)(
4、)s i nc o s( - A e 22- ttAettdtddtdva ttxx （ 2） 0co s tAex t ， 2 )12( nt ， .2,1,0n 1.4 物体在水平面上以 60 的倾角抛出，初速度为 0v ，求任意时刻物体的切向加速度和法向加速度的大小。 解： 60cos00 vv x 021v ， 00 21 vvv xx ； g 0v 60 60sin00 vv y 023v ， gtvgtvv yy 00 23； 物体运动到任意位置，和 x 轴方向的夹角为 2020022)2 3()21(23s i ngtvvgtvvvvyxy， 2020022)2 3()21(21
5、c o sgtvvvvvvyxx； 2220202003)2 3()2 3()21(23s i n)2c o s (tggtvvggtvgtvvgtvgggaoo 22202020032)23()21(21c o s)2s i n (tggtvvgvgtvvgvggaoon 1.5 在离水面高为 h 的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸边 s 处，当人以 0v 速度收绳时，如图所示，试求船的速度大小和加速度大小各是多少？ 解： 222 xhr 两边对时间 t 求导得：dtdrxrvdtdxxdtdrr 22式中 v 是船速的 x 分量， )( 0220 vx hxvvdtdr ， 3220xhv
6、dtdva ，当 sx 时， )( 022 vs hsv ； 3 220shva 。 x l h 0v 或：由 dtdxxdtdrr 式再求导得xavvdt xdxdtdxdtdxvdtdr 220220 )( 3 202220 x vhx vva 1.6 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 20 21 bttvs 运动， 0v 和 b 都是常量。（ 1）求 t时刻质点的总加速度；（ 2） t 为何值时总加速度在数值上等于 b ；（ 3）当加速度达到 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？ 解：（ 1） 20 21 bttvs ， btvv 0 ； bdtdva ， RbtvRva n202 )(
7、； R btvbRaaa n402222 )( ，方向与速度方向成 ，)(a r c t a n 20 Rb btv （ 2） bR btvbRa 4022 )(， bvtbtv o 0 （ 3） bvt o ， bvbttvs 2212020 ， RbvRsn 4)2/(201.7 一质点在半径为 0.10m的圆周上运动，其角位置为： )SI(42 3t 。（ 1）求在s0.2t 时质点的法向加速度和切向加速度；（ 2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（ 3） t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？ 解： 34210.0 tmR （ 1） tRRaRatt
8、n 242412 22 2t 时： 222 /8.4/1030.2 smasma n （ 2） 22 aaa n ，当 2aa 时有： 242 )24(2124 tRRtR 42222422 )12(41)2443)24(4141)24( tRtRtRRtR （，得： st 661.0 代入 155.342 3 t （ 3） tRtRR 24)12( 222 ，得 st 550.0 1.8 竖直上抛一小球，若空气阻力的大小是重力的 0.1 倍，求小球上升到最高点所用的时间与从最高点落到原位置所需的时间之比。 解：上升阶段： htg 211.121 ，下落阶段： htg 229.021 1.19
9、.02221 tt ， 9.01111311921 tt 1.9 一质点在 Oxy 平面内运动，运动方程为 tx 4 ， 2210 ty ，求质点的位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻。 解： jtitr )210()4( 2 ， jtidtjtitddt rdv 44/)210()4( 2 ， 质点的位置矢量与速度矢量垂直要求： 044)210()4( 2 jtijtitvr ， 则有 0)3(884016 23 ttttt ，解得 3t 1.10 质量为 m 的机动车，在恒定的牵引力 F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是 mv ，试计算从静止加速到 2/mv
10、 所需的时间以及所能走过的路程。 解：机动车所受合力为： dsdvmvdtdsdsdvmdtdvmmakvFf 2 ， 当合力为 0 时，机动车的速度达到最大值 mv ， 02 mkvF ， kFvm ， dtdvmmavFkFf )1( 2， 2/02/02220 11m mv vmtvvdvvFkdvdtmF， 设 sin mvvvFk， dvdv m cos ，当 2/mvv 时， 21sin ， 6 ； 6/02/06/0220)t a n l n ( s e cc o s1 mvmmtvdvvvdvdtmF m3ln)6t a n6c o s1l n (mm vvtmF 3ln2Fm
11、vt m dsdvmvmakvFf 2 ， 2/0220 1mvmsvvv d vdsmF， 2/02222/0 2222 )l n (22 mm vmmvmm vvvvv dvvsmF ， 34ln22Fmvs m0.1mg mg 上升阶段 0.1mg mg 下降阶段 1.11 一质点在水平面内沿半径 m2R 的圆轨道 转动，转动角速度 与时间 t 的关系为2At （ A 为常量），已知 s1t 时，质点的速率大小为 m/s4 ，求 s2t 时质点的速率和加速度的大小。 解： 2RAtRv ， s1t 时， 4 RARv ， 2A s2t 时， m /s164222 RAtRv ， 2m /
12、s162 RAtdtdva ， 22 m /s128 Rva n ， 222 m / s1296516 aaa n 1.12 质量为 m 的小球，在水中所受浮力的大小为常量 F 。当它从静止开始沉降时，受到水的阻力 kvf （ k 为常量）。以沉降开始计时，求小球在水中竖直沉降的速度与时间的关系。 解： dtdvmmaFkvmg ， dtdvmFvmkg ， dtdvkFgkmvmk )( ，dtmkkmgFvdv tv 00)1e( tmk kF -m gv 1.13 质量为 kg6m 的物体置于光滑水平面上，在大小为 )SI(43 tF 的水平力作用下，沿 x 轴运动，当 0t 时， 00
13、x ， 00v 。求 3st 时，物体的速度、加速度和位置坐标。 解： amatF 643 ， 643 ta ， 3st 时： 2m /s5.26 3436 43 ta ， m / s5.4)3121(6 43 3023030 ttdttadtv m25.5)9141()3121( 303230302 ttdtttv d ts 1.14 小滑块沿固定光滑的四分之一圆弧，从 A 点由静止开始下滑，圆弧半径为 R ，求小滑块在 A 点处的切向加速度大小 a ，及小滑块在 B 点处法向加速度的大小 na 。 解： A 点： ga B 点根据机械能守恒有： 221 mvmgR gRv 2 gRgRRva n 222 A B R 1.15 一条长为 l ，质量均匀分布的细链 AB，挂在半径可忽略的光滑钉子 C 上，开始处于静止状态， BC 段长为 L （ lLl 2132 ），释放后链条将做加速运动，试求当 l32BC时链条的加速度大小和运动速度大小。 解：细链线密度为 ，滑落过程中在运动切线方向有： dtdvlgxlx )( ， glxdtdva )12( 当 lBC 32 时， 3ga ， dxgglxv d vgglxdtdxdxdvdtdv )2(2 ，
